Minor einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 So 08.11.2009 | | Autor: | Alex88 |
| Aufgabe | Ein Minor einer Matrix ist die Determinante einer maximalen quadratischen Untermatrix. (z.B. hat eine 2x3-Matrix genau 3 Minoren.)
(a) Was sind die Minoren eines Spalten- bzw. Zeilenvektors?
(b)Man zeige: Jede nxm-Matrix A hat Rang <= min(n,m). Ist der Rang von A gleich min(n,m), so heißt A eine Matrix von Maximalrang.
(c)Man zeige: Eine Matrix hat genau dann Maximalrang, wenn nicht alle Minoren verschwinden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mich insbesondere gefragt, was in teil (b) mit min(n,m) gemeint ist. Ich denke es wird nicht das Minimum von n und m sein sondern sich logischer weise auf den Minor beziehen.
Aber ist damit ein bestimmter Minor gemeint oder der größte?
Wenn ich mir folgende Matrix anschaue:
[mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 }\Rightarrow [/mm] rg(A)=0
da die beiden Zeilen linear abhängig sind.
Dann betrachte ich den Minor
[mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }=0 [/mm]
Stimmt also überein.
Betrachte ich aber die Matrix B
[mm] B:=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 &2 \\ 1 & 0 & 0}
[/mm]
Dann gibt es doch 4 Minoren. Drei sind Null und die vierte:
[mm] \vmat{ 2 & 2 \\ 1 & 0 } [/mm] = -2
aber das entspricht nicht dem Rang von B...
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Hiho,
> Ich habe mich insbesondere gefragt, was in teil (b) mit
> min(n,m) gemeint ist. Ich denke es wird nicht das Minimum
> von n und m sein sondern sich logischer weise auf den Minor
> beziehen.
Da denkst du falsch. Mit min(a,b) wird hier schon das Minimum gemeint.
Das ist auch logisch, dass eine Matrix nicht einen grösseren Rang haben kann, als es Spalten bzw. Zeilen hat.
MFG,
Gono.
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