Minkowski-Ungleichung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Fr 11.12.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!!
In der Vorlesung haben wir die Minkowski-Ungleicung bewiesen, jetzt habe ich die Aufgabe, wo man den Beweis vervollständigen soll. Also zu zeigen:
Wenn [mm] f,g\in \IL^{p},p\in(1,\infty), [/mm] dann auch [mm] f+g\in \IL^{p}.
[/mm]
Hinweis: man muss die Gleichung [mm] (a+b)^p\le c_p(a^p+b^p) [/mm] herleiten.
An der Stelle bräuche ich eure Hilfe. Ich habs versucht die Ungleichung mit den Binomischen Formeln herzuleiten, aber es funktioniert nicht. Wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Danke im Voraus
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Sa 12.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo!!!
> In der Vorlesung haben wir die Minkowski-Ungleicung
> bewiesen, jetzt habe ich die Aufgabe, wo man den Beweis
> vervollständigen soll. Also zu zeigen:
> Wenn [mm]f,g\in \IL^{p},p\in(1,\infty),[/mm] dann auch [mm]f+g\in \IL^{p}.[/mm]
>
> Hinweis: man muss die Gleichung [mm](a+b)^p\le c_p(a^p+b^p)[/mm]
> herleiten.
Du hast da wohl ein paar Betraege vergessen. Du sollst $|a + [mm] b|^p \le c_p (|a|^p [/mm] + [mm] |b|^p)$ [/mm] zeigen.
> An der Stelle bräuche ich eure Hilfe. Ich habs versucht
> die Ungleichung mit den Binomischen Formeln herzuleiten,
> aber es funktioniert nicht.
Doch, die binomische Formel ist eine gute Idee. Es gilt doch $|a + [mm] b|^p [/mm] = [mm] |\sum_{k=0}^p \binom{p}{k} a^k b^{p-k}| \le \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} |a|^k |b|^{p-k}$. [/mm] Im Fall $|a| [mm] \le [/mm] |b|$ gilt jetzt aber [mm] $|a|^k |b|^{p-k} \le |b|^k |b|^{p-k} [/mm] = [mm] |b|^p$, [/mm] womit du $|a + [mm] b|^p \le \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} |b|^p [/mm] = [mm] 2^p |b|^p \le 2^p (|a|^p [/mm] + [mm] |b|^p)$ [/mm] bekommst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Sa 12.12.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Felix!!!
Vielen-vielen Dank!!!![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
GRUß
|
|
|
|
