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| Aufgabe | Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion:
$f(x,y) = [mm] 2x^2+2xy+3y^2$
[/mm]
auf der Kreisscheibe: [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 4$ |
Hallo, ich brauch mal bitte eure Hilfe.
Ein inneres Extremum hab ich bereits gefunden. Und zwar ist der Punkt $(0,0)$ ein lokales Minimum.
Probleme bereiten mir die Extrema am Rand. Diese wollte ich mit der Langrange-Multiplikatorregel finden.
Dazu hab ich mir durch Ableitung folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
I: [mm] 4x+2y+2x\lambda [/mm] = 0
II: [mm] 2x+6y+2y\lambda [/mm] = 0
III: [mm] x^2+y^2-4 [/mm] = 0
Aus I drück ich [mm] \lambda [/mm] aus: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{-x-y}{x}
[/mm]
Das setze ich in II ein:
II: [mm] 2x^2+64x-2xy-2y^2
[/mm]
Aus III drück ich mir x aus: [mm] x=\wurzel{4-y^2}
[/mm]
Das setze ich nun in II ein:
II: [mm] -4y^2+4y\wurzel{4-y^2} [/mm] + 8
Wie soll ich daraus y herausheben? Muss ich die Rechnung anders angehen?
mfg
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Hallo dreamweaver,
> Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion:
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> [mm]f(x,y) = 2x^2+2xy+3y^2[/mm]
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> auf der Kreisscheibe: [mm]x^2+y^2 \le 4[/mm]
> Hallo, ich brauch mal
> bitte eure Hilfe.
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> Ein inneres Extremum hab ich bereits gefunden. Und zwar ist
> der Punkt [mm](0,0)[/mm] ein lokales Minimum.
>
> Probleme bereiten mir die Extrema am Rand. Diese wollte ich
> mit der Langrange-Multiplikatorregel finden.
> Dazu hab ich mir durch Ableitung folgendes
> Gleichungssystem aufgestellt:
>
> I: [mm]4x+2y+2x\lambda[/mm] = 0
> II: [mm]2x+6y+2y\lambda[/mm] = 0
> III: [mm]x^2+y^2-4[/mm] = 0
>
> Aus I drück ich [mm]\lambda[/mm] aus: [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{-x-y}{x}[/mm]
> Das setze ich in II ein:
> II: [mm]2x^2+64x-2xy-2y^2[/mm]
>
> Aus III drück ich mir x aus: [mm]x=\wurzel{4-y^2}[/mm]
>
> Das setze ich nun in II ein:
> II: [mm]-4y^2+4y\wurzel{4-y^2}[/mm] + 8
>
> Wie soll ich daraus y herausheben? Muss ich die Rechnung
> anders angehen?
>
Forme so um, daß die Wurzel auf einer Seite steht
und quadriere dann.
> mfg
>
Gruss
MathePower
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Ich danke dir!
Nach einer langen Rechnung bin ich dann doch noch aufs Ergebnis gekommen.
Mfg
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