Minimum bei f(x,y)=2x^2-3xy^2+y^4 !? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 01.06.2004 | | Autor: | rossi |
Wie zeige ich, dass [mm] f(x,y)=2x^2-3xy^2+y^4 [/mm] in (0,0) kein Minimum hat, obwohl Hesse f(0,0) positiv semidefint is!?
Gruß
Rossi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Di 01.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo rossi,
> Wie zeige ich, dass [mm] f(x,y)=2x^2-3xy^2+y^4 [/mm] in (0,0) kein
> Minimum hat, obwohl Hesse f(0,0) positiv semidefint is!?
Eine Idee wäre, zu zeigen, dass es sich an dieser Stelle um einen Sattelpunkt handelt (wenn es denn einer ist, ich weiß es nicht, da ich gerade auf dem Sprung bin...).
Dazu könntest du zwei Richtungsableitungen finden, wobei die eine im Ursprung ein Maximum, die andere aber ein Minumum hat.
Wie gesagt, nur eine Idee.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 01.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rossi,
> Wie zeige ich, dass [mm] f(x,y)=2x^2-3xy^2+y^4 [/mm] in (0,0) kein
> Minimum hat, obwohl Hesse f(0,0) positiv semidefint is!?
>
> Gruß
>
> Rossi
>
Zunächst einmal gehe ich davon aus, dass du die Hesse-Matrix [m]H_f(0,0)[/m]auch berechnet hast und dass sie positiv semidefinit ist.
Nach meiner Rechnung jedenfalls hat sie folgende Eigenwerte (Rechenfehler nicht ausgeschlossen  ):
[mm] $\lambda_1=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=4 \ge [/mm] 0$, d.h. [mm] $H_f(0,0)$ [/mm] ist positiv semidefinit.
Jedenfalls ist die Jakobimatrix [mm] $J_f(0,0)=(0,0)$. [/mm]
Leider ist das dann (zusammen) aber kein hinreichendes Kriterium, sondern ein notwendiges für das Vorliegen eines Minimums:
![[]](/images/popup.gif) Skript
Satz 20.21, S.202 (Zählung oben)
Falls du Marcs Weg nicht gehen möchtest, vielleicht findest du ja Folgen [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$,$(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die beide gegen Null konvergieren, aber wo stets:
[mm] $f(x_n,y_n) [/mm] < 0 = f(0,0)$ gilt.
Das wäre dann so meine Idee...
Ich habe momentan noch nichts nützliches gefunden, leider...
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Di 01.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo rossi
ich bin zwar eine absolute Mathe-Null, glänze aber doch bisweilen mit einigermassen nützlichen Ideen.
Und hier habe ich folgende Idee/Ueberlegung:
Wenn die Funktion im Punkt (0,0) ein Minimum haben sollte, dann muss der Funktionswert in einer ganzen [mm] $\epsilon$-Umgebung $\ge [/mm] 0$ sein.
Wenn ich mir die Funktion mal so betrachte und $y$ als konstant ansehe, dann kann ich analysieren, wo die betrachtete Funktion negativ wird, respektive, wo sie Nullstellen hat.
Ich suche also die Nullstellen der Funktion [mm] $2x^2-3xy^2+y^4$, [/mm] wobei ich wie gesagt das $y$ als konstant betrachte. Dann ergibt sich (quadratische Gleichung):
[mm] $x=\bruch{3y^2\pm y^2}{4}$
[/mm]
oder : [mm] $x_1=\bruch{y^2}{2},\, x_2=y^2$
[/mm]
Eine weitere Analyse ergibt, dass die Funktion zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] negativ ist.
Mach mal eine Zeichnung (x-y-Koordinaten. Du zeichnest die Kurven [mm] $x=\bruch{y^2}{2}$ [/mm] und [mm] $x=y^2$ [/mm] (für Marcel ein Graus: Anschauung!)
Das gibt zwei Parabeln, und im Bereich zwischen diesen zwei Parabeln ist der Funktionswert also negativ!
Und jetzt zeichne noch ein [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] um den Nullpunkt. Du stellst fest, dass, wie klein du dein [mm] $\epsilon$ [/mm] auch wählst, dieser Zwischen-Parabel-Bereich in die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] hineinschaut, dass also in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] der Funktionswert für gewisse $x,y$-Werte $< 0$ wird. Somit liegt im Nullpunkt kein Minimum vor! 
So, soviel von einem Mathe-Laien. Die Idee ist vielleicht brauchbar, das Uebersetzen in eine korrekte mathematische Form muss ich allerdings den Profis überlassen!
Mit lieben Grüssen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paul, hallo rossi
> Hallo rossi
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> ich bin zwar eine absolute Mathe-Null, glänze aber doch
> bisweilen mit einigermassen nützlichen Ideen.
>
> Und hier habe ich folgende Idee/Ueberlegung:
>
> Wenn die Funktion im Punkt (0,0) ein Minimum haben sollte,
> dann muss der Funktionswert in einer ganzen
> [mm] $\epsilon$-Umgebung $\ge [/mm] 0$ sein.
>
> Wenn ich mir die Funktion mal so betrachte und $y$ als
> konstant ansehe, dann kann ich analysieren, wo die
> betrachtete Funktion negativ wird, respektive, wo sie
> Nullstellen hat.
>
> Ich suche also die Nullstellen der Funktion
> [mm] $2x^2-3xy^2+y^4$, [/mm] wobei ich wie gesagt das $y$ als konstant
> betrachte. Dann ergibt sich (quadratische Gleichung):
>
>
> [mm] $x=\bruch{3y^2\pm y^2}{4}$
[/mm]
>
> oder : [mm] $x_1=\bruch{y^2}{2},\, x_2=y^2$
[/mm]
>
> Eine weitere Analyse ergibt, dass die Funktion zwischen
> [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] negativ ist.
Ich dachte jetzt, du (Paul) meinst:
Sie ist überall zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] negativ. Dann habe ich mal die Nullfolgen [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$, [/mm] welche wie folgt definiert werden:
[mm] $y_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $x_n:=\frac{3}{4n^2}$ [/mm] betrachtet.
Denn: [mm] $y_n$ [/mm] habe ich einfach so als (bekannte) Nullfolge gewählt. Dann habe ich mit Pauls Überlegungen (unter der Annahme der Richtigkeit dieser Überlegungen) gefolgert:
Die zugehörigen [mm] $x_1$,$x_2$ [/mm] sind die Folgen:
[mm] $r_n=\frac{1}{2n^2}, s_n=\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Für die Folgen [mm] $r_n=\frac{1}{2n^2}, s_n=\frac{1}{n^2}$ [/mm] ist
[mm] $x_n:=\frac{r_n+s_n}{2}=\frac{3}{4n^2}$ [/mm] eine Folge, die 'zwischen' [m]r_n[/m] und [m]s_n[/m] liegt. (ergänzt um 02.36 Uhr, 02.06.2004)
Dann folgt:
[m]f(x_n,y_n)
=2(\frac{3}{4n^2})^2-3(\frac{3}{4n^2})(\frac{1}{n})^2+(\frac{1}{n})^4
=\frac{9}{8n^4}-\frac{9}{4n^4}+\frac{1}{n^4}
=\frac{9}{8n^4}-\frac{18}{8n^4}+\frac{8}{8n^4}
=-\frac{1}{n^4} < 0 = f(0,0) [/m] [m]\forall n \in \IN[/m].
Damit sollte der Beweis fertig sein, es sei denn, ich habe mich entweder verrechnet oder von Paul täuschen lassen
>
> Mach mal eine Zeichnung (x-y-Koordinaten. Du zeichnest die
> Kurven [mm] $x=\bruch{y^2}{2}$ [/mm] und [mm] $x=y^2$ [/mm] (für Marcel ein
> Graus: Anschauung!)
Hilfe, bitte keine Zeichnung, die braucht man hier doch gar nicht
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Falls sich noch jemand für die Aufgabe interessiert, ich habe noch folgende Aufgabenstellung zu dieser Funktion gefunden:
Siehe Dateianhang, Aufgabe 5:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") datei
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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