Minimum/Maximum < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mi 08.03.2006 | | Autor: | tAtey |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, folgendes Problem:
Hab wohl einen Denkfehler, aber das beschäftigt mich gerade.
Beim Lösen einer Extremwertaufgabe gebe ich ja nirgends an, in welcher Weise mein Rechteck zbsp. extremal werden soll, das heißt, ob es maximal oder minimal wird.
Wenn ich dann die Extremwerte berechne, erkenn ich ja, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.
Heißt das dann, wenn ich z.B. ein Maximum habe, dass mein Rechteck dann maximal wird?
Wie kann ich das denn beeinflussen,
kann es vorkommen, dass mein Rechteck minimal werden soll, jedoch bei den Extremstellen ein Maximum herauskommt?
Oder versteh ich irgendwas in der ganzen Thematik total falsch?
Kann man das denn überhaupt beeinflussen, ob ein Rechteck minimal oder maximal wird? Muss doch, oder?
Ich verzweifel gerad, weil es ja eigentlich etwas total einfaches ist. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Tatjana,
mal schaun ob ich was sinnvolles dazu sagen kann:
Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist ja A=a*b.
Wenn du den maximieren sollst brauchst du noch eine einschränkende Bedingung, sowas wie: A maximal, bei Umfang U=u (z.b. u=16).
So, nun habe ich u=U=2(a+b), also a = 0.5u-b.
Und damit A=(0.5u-b)*b, einfach oben eingesetzt.
Die Ableitung: A'=0.5u-2b
Die 2.Ableitung: A''=-2.
Und hier siehst du, dass die Extremstelle immer ein Maximum ist, da die 2. Ableitung immer negativ ist. Bei diesem einfachen Aufgabentyp sieht man es leicht.
In der Schule dürften dir keine anderen Aufgabentypen begegnen. Würdest du den Inhalt minimieren wollen, kämst du mit der normalen (1.Abl. =0, usw) nicht zum ergebnis. Das liegt daran, das hier das Minimum nicht innerhalb des Definitionsbereichs liegt (wie beim Maximum), sondern auf dem Rand. Das ist leicht zu sehen, wenn du dir Die Funktion des Flächeninhaltes in Abgängigkeit von einer Seite b aufmalst:
[mm] A(b)=0.5ub-b^2. [/mm] (ich kanns hier nicht zeichnen, nimm mal u =16 und male)
Es ist eine Parabel, die nach unten geöffnet ist. Ihr Maximum nimmt sie zwischen ihrer linken und rechten Nullstelle ein (die Nullstellen sind die minimalen bzw. maximalen Seitenlängen 0 und 0.5u). Wo ist sie Minimal? Da die Seitenlängen nicht negativ sein können, sondern durch 0 und 0.5u beschränkt sind ist das Minimum eben bei b=0 und b=0.5u (d.h. es gibt 2 Minima) die aber auf dem Rand (der möglichen Werte von b ) liegen und somit nicht auf herkömmliche Weise ausgerechnet werden können.
Arrgh, ich hoffe ich hab dich nicht noch mehr verwirrt. Quintessenz: Wenn du per 1. Ableitung ein Flächeninhalt eines Rechtecks maximieren sollst, kommt auch immer ein Maximum raus :)
lG, Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 08.03.2006 | | Autor: | tAtey |
Ok, das hab ich soweit verstanden .. Denke ich :P
Nochmal zusammengefasst: Wenn ich Extremstellen von einer dieser Aufgabe ausrechne, dann errechne ich immer das Maximum dieser Rechteckfläche z.B.?
Und falls die 2. Ableitung positiv ist, dann errechne ich immer das Minimum. Das heißt also, dass es kein Maximum in diesem Bereich gibt?!
Ist das immer so?!
Mal ne Beispielfrage:
Welches Rechteck mit dem Umfang 30cm hat die kürzeste Diagonale?
Jetzt wird ja das Minimum gesucht.
Wie würd ich jetzt hier vorgehen?!
Die Zielfunktion ist dann doch die Diagonalenlänge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Tatjana,
also, ob du ein Maximum oder ein Minimum suchst ergibt sich ja immer aus der Aufgabenstellung. Und wenn du einen oder mehrere Kandidaten für eine Extremstelle gefunden hast, empfiehlt es sich immer zu Überprüfen was man da gefunden hat. Das gilt besonders für eine Klassenarbeit, sonst gibts nämlich meistens Punktabzug.
Es gilt immer: hast du einen (abgeschlossenen) Bereich angegeben, indem du nach Extrema suchen sollst, gibt es immer mind. ein Min und ein Max und die liegen entweder innerhalb des Bereiches oder auf den Rändern. Mit abgeschlossen ist ein Intervall gemeint, also so was wie von 0 bis 8 oder von -2 bis 5, wobei die Randpunkte jeweils dazugehören müssen. Aufgepasst mit Sachen wie "grösser als Null" oder "kleiner als 3", da diese Bereiche nach einer Seite hin offen sind, da gibt es nicht automatisch beide Extrema.
Jetzt aber zu deinem Beispiel:
Zunächst braucht man eine Funktion für die Länge der Diagonale d. Nach Satz des Pythagoras gilt
[mm] d^2=a^2+b^2.
[/mm]
Da wir nur positive d beachten müssen gilt
[mm] d=\wurzel{a^2+b^2}.
[/mm]
Wir wissen durch die Bedingung des Umfangs, dass
2(a+b)=30, also a=15-b und damit
[mm] d=\wurzel{(15-b)^2+b^2}=\wurzel{225-30b+b^2+b^2}, [/mm] also
[mm] d=\wurzel{225-30b+2b^2}.
[/mm]
1.Ableitung:
[mm] d'=\bruch{1}{2}\bruch{-30+4b}{\wurzel{225-30b+2b^2}}
[/mm]
Nullstellen von d':
-30+4b=0 , also b=7.5
Ob es ein Maximum oder ein Minimum ist, kann man über die 2. Ableitung rausfinden oder (weil die mir zu aufwendig ist) indem man d' auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) an der Nullstelle überprüft. Ich hoffe ihr hattet das im Matheuntericht, sonst darfst du es wohl nicht verwenden und musst die 2.Ableitung machen. Es gibt einen VZW von - nach + (links von der Nullstelle ist d' negativ, rechts davon positiv), also ist es ein Minimum (die Funktion d fällt zunächst, dann steigt sie).
Frag ruhig nochmal, wenn was unklar ist,
Walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mi 08.03.2006 | | Autor: | tAtey |
Ich danke dir, ich danke dir, ich daaaanke dir ;)
Ich habs verstanden.
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