Minimierung, steilster Abst. < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein aufgabe, in der f(x)= [mm] \bruch{1}{2} x^{T}Ax-b^{T}x [/mm] ist.
A= [mm] \pmat{ 4 & -2 \\ -2 & c }, [/mm] b= [mm] \vektor{2 \\ 1}.
[/mm]
Man soll nun bestimmen für welche c ein sinnvolles Minimierungsproblem gegeben ist. Aus Gefühl würde ich sagen die Matrix muß symmetrisch und positiv definit sein aber ich kann das leider nicht begründen, es wäre sehr nett wenn mir damit jemand helfen könnte.
Außerdem muß ich noch die Richtung des steilsten abstiegs bestimmen. Dafür muß ich f doch ableiten jetzt bin ich mir bei vektoren immer unsicher stimmt die Ableitung g(x)=Ax-b? die dritte frage der aufgabe ist für welche c der vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] eine Abstiegsrichtung ist wie gehe ich denn da ran?
Es ist eine Aufgabe mit deren Hilfe ich für die Klausur lernen möchte was heißt das ich in der übung keine Lösung dafür bekomme also falls mir jemand damit helfen kann wäre ich seh dankbar.
Sternschnuppe
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> Hallo,
> ich habe ein aufgabe, in der f(x)= [mm]\bruch{1}{2} x^{T}Ax-b^{T}x[/mm]
> ist.
> A= [mm]\pmat{ 4 & -2 \\ -2 & c },[/mm] b= [mm]\vektor{2 \\ 1}.[/mm]
Hallo,
ich hab erstmal die Ableitung bestimmt, und mir für diesen Zweck die Funktion so aufgeschrieben, daß ich sie ableiten kann.
f(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}(x,y) \vektor{4x-2y \\ -2x+cy}- [/mm] 2x- [mm] y=2x^2-2xy+ \bruch{1}{42}cy^2-2x-y
[/mm]
Die erste Ableitung
gradf= [mm] \vektor{ 4x-2y-2\\ -2x+cy-1}.
[/mm]
Die war anders als Deine. Aber ich hab's nun verbessert. Hier könnte man =0 setzen, um Kandidaten fürs Minimum zu finden. Als nächstes bräuchte man die zweite Ableitung
(Hess f)(x,y)= [mm] \pmat{ 4 & -2 \\ -2 & c }.
[/mm]
Wollten wir unsere Kandidaten auf "Minimum" prüfen, müssen wir gucken, ob die Hessematrix an dieser Stelle pos. definit ist.
Hier würde ich jetzt die Eigenwerte bestimmen bzw. nachschauen, für welche c überhaupt welche existieren, und für welche c sie positiv sind.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> f(x,y)= [mm]\bruch{1}{2}(x,y) \vektor{4x-2y \\ -2x+cy}-[/mm] 2x-
> [mm]y=2x^2-2xy+cy^2-2x-y[/mm]
Hier müsste [mm]\bruch{1}{2}cy^2[/mm] stehen. Dann passt's auch. Einsetzen ist aber nat. keine schlechte Ideeda sieht man wenigstens das das ganze nur für symmetrische Matrizen so "glatt" durchgeht.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Sternschnuppe,
Für die ![[]](/images/popup.gif) Abstiegsrichtung fehlen mir irgendwie noch Informationen wie z.B. der Punkt in dem man sich befindet. Man stellt sich auf die Funktion schaut in Richtung des Vektors wenn die funktion in diese Richtung fällt dann ist's Abstieg.
viele Grüße
mathemaduenn
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hallo,
wenn A nicht positv ist, gibt es ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] x_0^{T} Ax_0 [/mm] < 0, und dann ist auch [mm] (-x_0)^{T} A(-x_0) [/mm] < 0, sodass etweder [mm] b^{T} x_0 [/mm] >0 oder [mm] b^{T} (-x_0) [/mm] > 0 ist. Dann kann man aber in [mm] x_0 [/mm] -Richtung (oder entgegengesetzt) mit [mm] tx_0^{T} [/mm] A [mm] tx_0 [/mm] - [mm] b^{T} tx_0 [/mm] (t [mm] \in [/mm] |R) beliebig "tief" kommen und es gibt kein Minimum.
Wenn A positv definit ist, gibt es genau ein Minimum.
gradf(x) = [mm] x^{T}A [/mm] - [mm] b^{T}.
[/mm]
Sorry, da muss eine 2 rein, und das gilt dann auch bloß bei symmetrischen Matritzen.
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