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| Aufgabe | | Geben ist eine Dose (Zylinderform) mit dem Volumen V = 30 [mm] cm^3, [/mm] gesucht ist die höhe und der Durchmesser bei minimaler Oberfläche. |
Guten Tag,
ich habe zuerst die HB und NB aufgestellt:
HB: A = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] + 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h
NB: V = [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] * h
V nach h umgestellt
h = [mm] (\bruch{40 cm^3}{r^2 * \pi})
[/mm]
h in die A einsetzen
A = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] + 2 * r * [mm] (\bruch{40cm^3}{r^2 * \pi})
[/mm]
A(r) = 6,28 [mm] r^2 [/mm] + [mm] \bruch{80 cm^3}{r} [/mm] * [mm] \pi [/mm]
Nun habe ich r im Nenner stehen, habe es vor kurzem in der Schule gesehen, dass ich nach oben holen kann und dafür der Exponent -1 wird.
A(r) = 6,28 [mm] r^2 [/mm] + ( (80 [mm] cm^3)^{-1}) \pi [/mm]
Ist es soweit richtig?
Nun muss ich die Ableitungen bilden:
A'(r) = 12,56 r + (-80)^(-2) (Die Klammer mit -2 bedeutet hoch -2
A''(r) = 12,56 + 160^(-3)
Nun muss ich A(r) = 0 setzen.
0 = 12,56 r -80^(-2)
r = - 1,244 * 10^(-5) (Wie kann ich sowas eigentlich umschreiben, damit es "normal" aussieht?)
Nun muss ich das Ergebnis in K''(r) setzen.
A''(-1,244 * 10^(-5)) = Nicht möglich. Muss ich hier jetzt schon aufhören?
Kann mir hier jemand bei helfen? Wäre wirklich super.
Ich danke euch.
freundliche Grüße
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Ok, danke. Es muss richtig 30 sein, ist aber egal, so kann ich es nachher noch einmal mit 30 neu rechnen und habe so die Übung.
Ich habe die Funktion nun so wie du sie geschrieben hast übernommen und abgeleitet:
A'(r) = 12,56r - 25,5r^-2
A''(r) = 12,56 - 51r-3
Nun habe ich 1. Ableitung 0 gesetzt.
Nun frage ich mich, wie das funktionieren soll. Der Exponent ist einmal -2, wie funktioniert denn das nun? Geht das auch einfach mit der P-Q-Formel?
Vielen Dank.
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Hallo berger741,
Als erstes: Lass lieber [mm] \pi [/mm] stehen, als den gerundeten Dezimalbruch. [mm] \pi [/mm] ist einfach genauer und genauso richtig wie der ausgerechnete Wert!
Meine Ableitungen heißen:
[mm] A'(x)=4\pi r-\bruch{80}{\pi}r^{-2}
[/mm]
[mm] A''(x)=4\pi -\bruch{-160}{\pi}r^{-3}
[/mm]
[mm] A'(x)=0=4\pi r-\bruch{80}{\pi}r^{-2}\gdw \bruch{80}{\pi *r^{2}}=r*4\pi \gdw \bruch{20}{\pi^{2}}=r^{3}
[/mm]
So kommst du auf die Extrema.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Do 18.12.2008 | | Autor: | berger741 |
Vielen Dank für eure Hilfe, hat mir wirklich sehr geholfen!
fg
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das muss heißen:
