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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Di 14.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | (1) Sei das charakteristische Polynom einer Matrix [mm] T^9-T^8+T^7-T^6. [/mm] Welche Möglichkeiten gibt es für das Minimalpolynom.
(2) Das charakteristische Polynom einer Matrix A habe die Form [mm] \alpha_{1}^{m_1}\cdot [/mm] ... [mm] \cdot \alpha_{t}^{m_t} [/mm] mit paarweise verschiedenen irreduziblen Polynomen [mm] \alpha_i, [/mm] i=1,...,t und Exponenten [mm] m_i\geq [/mm] 1.
Wie viele Möglichkeiten gibt es für das Minimalpolynom?
(3) Gegeben sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus mit paarweise verschiedenen Eigenwerten [mm] \lambda_1,...,\lambda_t.
[/mm]
Geben Sie das Minimal-Polynom an. |
Hallo,
hier mal meine Ergebnisse:
(1) Ich habe die Nullstellen berechnet und komme zu: [mm] T_1=0,T_2=1,T_3=-1.
[/mm]
Demnach das Minimalpolynom: [mm] m_A=T(T-1)(T+1), [/mm] oder [mm] m_A=T^{i}(T-1)^{k}(T+1) [/mm] mit [mm] i\in [/mm] {1,...,6} und [mm] k\in [/mm] {1,2}, weil das die entsprechenden Vielfachheiten der Nullstellen sind. Ich hoffe man kann es so aufschreiben?
(2) Naja jedes Polynom ist irreduzibel und damit auch Teil des Minimalpolynoms. Dann gibt es die [mm] \prod_{i=1}^{t}m_i [/mm] Möglichkeiten.
(3) [mm] m_f=\prod_{i=1}^{t}(T-\lambda_i).
[/mm]
Falls etwas falsch ist, bitte auch sagen was genau.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:33 Mi 15.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (1) Sei das charakteristische Polynom einer Matrix
> [mm]T^9-T^8+T^7-T^6.[/mm] Welche Möglichkeiten gibt es für das
> Minimalpolynom.
>
> (2) Das charakteristische Polynom einer Matrix A habe die
> Form [mm]\alpha_{1}^{m_1}\cdot[/mm] ... [mm]\cdot \alpha_{t}^{m_t}[/mm] mit
> paarweise verschiedenen irreduziblen Polynomen [mm]\alpha_i,[/mm]
> i=1,...,t und Exponenten [mm]m_i\geq[/mm] 1.
> Wie viele Möglichkeiten gibt es für das Minimalpolynom?
>
> (3) Gegeben sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus mit
> paarweise verschiedenen Eigenwerten
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_t.[/mm]
> Geben Sie das Minimal-Polynom an.
>
> hier mal meine Ergebnisse:
> (1) Ich habe die Nullstellen berechnet und komme zu:
> [mm]T_1=0,T_2=1,T_3=-1.[/mm]
> Demnach das Minimalpolynom: [mm]m_A=T(T-1)(T+1),[/mm] oder
> [mm]m_A=T^{i}(T-1)^{k}(T+1)[/mm] mit [mm]i\in[/mm] {1,...,6} und [mm]k\in[/mm] {1,2},
> weil das die entsprechenden Vielfachheiten der Nullstellen
> sind. Ich hoffe man kann es so aufschreiben?
Fast. Erstmal kannst du [mm] $m_A [/mm] = T (T - 1) (T + 1)$ weglassen, da dies nur ein Spezialfall von der zweiten, allgemeineren Formel ist.
Und dann hast du einen Fall nicht beachtet: naemlich [mm] $m_A [/mm] = [mm] T^i [/mm] (T - 1)$ mit $i [mm] \in \{ 1, \dots, 6 \}$, [/mm] falls $-1 = +1$ in $K$ sein sollte (also $2 = 0$ in $K$).
> (2) Naja jedes Polynom ist irreduzibel und damit auch Teil
> des Minimalpolynoms. Dann gibt es die [mm]\prod_{i=1}^{t}m_i[/mm]
> Möglichkeiten.
Genau.
> (3) [mm]m_f=\prod_{i=1}^{t}(T-\lambda_i).[/mm]
Genau.
> Falls etwas falsch ist, bitte auch sagen was genau.
Bei (2) und (3) fehlen Begruendungen, falls solche auch gefragt waren.
LG Felix
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