Minimalpolynombestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Sa 23.08.2008 | | Autor: | mahmuder |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] |
Hallo Leute,
mir wurde wohl mit dem Minimalpolynom was falsches erzählt. Meine Übüngsleiterin meinte das man von dort die Dim des Eigenraumes ablesen kann. Nun habe ich gehört das dies so falsch ist. Kann mir jemand bitte erklären was es mit dem Minimalpolynom auf sich hat. Bis zum char. Polynom komme ich. Ich weiss auch, das das MP die gleichen Linearfaktoren besitzt. Kann mir jemand das Mp am obigen Beispiel erklären und sagen wie sich das am einfachsten berechnen lässt. Vielen Dank
LG
mahmud
|
|
| |
|
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
Hallo,
das charakteristische Polynom von A ist [mm] p_A=x²(x-3).
[/mm]
Als Minimalpolynome kommen infrage:
[mm] p_1(x)=x(x-3)
[/mm]
oder
[mm] p_2(x)=x²(x-3) (=p_A(x)).
[/mm]
Welches von beiden es ist, bekommst Du heraus, wenn Du A einsetzt.
Ergibt [mm] p_1(A) [/mm] die Nullmatrix, so ist [mm] p_1 [/mm] das Minimalpolynom.
Du mußt also
[mm] p_1(A)=A(A-3E)=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }\pmat{ -2 & 1& 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 } [/mm] berechnen.
Ergebnis: Nullmatrix, also ist das das Minimalpolynom.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 23.08.2008 | | Autor: | mahmuder |
Danke Angela. Ist das denn immer so und was für ein Sinn bezweckt das denn?
LG
mahmud
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 23.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Definition des ![[]](/images/popup.gif) Minimalpolynoms
Wenn du den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und das Charakteristische Polynom [mm] \mathcal{X} [/mm] einer Matrix A gegeben hast, suchst du das Minimalpolynom [mm] \mathcal{P},
[/mm]
das
[mm] \mathcal{P}(\lambda)=0 [/mm]
erfüllt
Hast du also das Charakteristische Polynom gegeben, hat das Minimalpolynom also dieselben Nullstellen, also musst du nur die Probe [mm] \mathcal{P}(A)=0 [/mm] machen, um zu überprüfen.
Beispiel:
[mm] \mathcal{X}(x)=x^{2}*(x-3)²
[/mm]
Polynome mit denselben Nullstellen sind:
[mm] \mathcal{P}_{1}(x)=x^{2}*(x-3)^{2}
[/mm]
[mm] \mathcal{P}_{2}(x)=x^{\not2}*(x-3)^{2}=x(x-3)²
[/mm]
[mm] \mathcal{P}_{3}(x)=x^{2}*(x-3)^{\not2}=x²(x-3)
[/mm]
[mm] \mathcal{P}_{4}(x)=x^{\not2}*(x-3)^{\not2}=x(x-3)
[/mm]
Welches das Minimalpolynom ist, überprüfst du mit [mm] \mathcal{P}(A)=0, [/mm] wie Angela es schon erwähnt hat
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Sa 23.08.2008 | | Autor: | mahmuder |
Vielen DANK!
|
|
|
|
