Minimalpolynom ermitteln < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Berechne das Minimalpolynom von [mm] A=\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2} [/mm] |
Hallo,
ansich weiß ich wie das geht, aber ich komme auf eine komische Lösung. Daher wäre es nett wenn mir wer sagt was ich falsch gemacht habe.
1. Char Polynom: [mm]-t^{3}-6t^{2}-9t=-t(t+3)^{2}[/mm]
2. Eigenwerte: 0 und -3
3. Mögliche Minimalpolynome: [mm]-t(t+3)^{2}[/mm] oder [mm]-t(t+3)[/mm]
4. A einsetzen:
in [mm]-t(t+3)^{2}[/mm]
[mm]-\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2}(\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2}+3)^{2}=\pmat{ 18 & -9 & -9 \\ -9 & 18 & -9 \\ -9 & -9 & 18}[/mm]
in [mm]-t(t+3)[/mm]
[mm]-\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2}(\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2}+3)=\pmat{ -6 & 3 & 3 \\ 3 & -6 & 3 \\ 3 & 3 & -6}[/mm]
Eigentlich müsste ja jetzt die Nullmatrix entstehen. Heißt das jetzt dass es kein Minimalpolynom gibt? Eigentlich muss es aber eins geben, weil die Aufgabe ja extra so gestellt ist.
Und noch was komisches:
Wenn ich [mm] \pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2} [/mm] in [mm]-t^{3}-6t^{2}-9t[/mm] einsetze bekomme ich die Nullmatrix heraus. Dabei ist doch [mm]-t^{3}-6t^{2}-9t=-t(t+3)^{2}[/mm]. Warum bekomme ich also bei [mm]-t(t+3)^{2}[/mm] keine Nullmatrix?
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Hallo,
> Berechne das Minimalpolynom von [mm]A=\pmat{ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2}[/mm]
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> Hallo,
> ansich weiß ich wie das geht, aber ich komme auf eine
> komische Lösung. Daher wäre es nett wenn mir wer sagt was
> ich falsch gemacht habe.
>
> 1. Char Polynom: [mm]-t^{3}-6t^{2}-9t=-t(t+3)^{2}[/mm]
> 2. Eigenwerte: 0 und 2
Nein. Das char. Polynom kann nicht stimmen.
Es ist $\ [mm] P_A(t) [/mm] = [mm] \det(A-t*E) [/mm] $
Dort liegt der Hund begraben.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Eigentlich müsste es stimmen.
Wie soll es denn sonst lauten?
Hab es auch nochmal in ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Alpha überprüft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo Lyrn,
dein charakteristisches Polynom stimmt und ich komme bei beiden Varianten
$ [mm] -t^{3}-6t^{2}-9t [/mm] $ und $ -t(t+3 I [mm] )^{2} [/mm] $ auf die Nullmatrix. Du solltest nochmal die Matrizenoperationen üben. Dann hast du aber immer noch nicht das Minimalpolynom gefunden. Lies dir das noch mal durch.
mfg sigma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Meinst du, dass es normiert sein muss? Also $ t(t+3 I [mm] )^{2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:28 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Sigma |
Ja,
aber da fehlt immer noch was. Stichwort "smallest degree n".
gruß sigma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Mo 24.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lyrn,
offensichtlich hast du beim Einsetzen in die faktorisierten Polynome den konstanten Term 3 falsch interpretiert:
Er steht für [mm] $3*t^0$, [/mm] so dass du beim Einsetzen von A gerade [mm] $3*A^0=3*\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}=\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&3}$ [/mm] und nicht [mm] $\pmat{3&3&3\\3&3&3\\3&3&3}$ [/mm] erhältst.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:18 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Ah, da lag mein Fehler, danke!
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