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Hallo alle miteinander, ich hab da mal ein kleines Problem.
Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Minimalpolynome folgender reellen Zahlen über den rationalen Zahlen [mm]\IQ[/mm] bestimmen soll:
(1) [mm]\wurzel{3}+\wurzel[3]{5}[/mm]
(2) [mm]\wurzel[3]{\wurzel{5}+2}-\wurzel[3]{\wurzel{5}-2}[/mm].
Und noch was, folgende Frage wurde uns gestellt, versteh ich aber leider net mal die Aussage, was ich da machen soll*g*:
(3) Bestimmt eine Zahl [mm]x\in\IR[/mm], so dass [mm]\IQ(a)=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})[/mm]. Kann man [mm]a=\wurzel{6}[/mm] nehmen?
Ich danke euch schon mal für eure Hilfe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Dr_Schnaggels,
willkommen im MatheRaum  !
> Hallo alle miteinander, ich hab da mal ein kleines
> Problem.
> Ich habe absolut keine Ahnung wie ich die Minimalpolynome
> folgender reellen Zahlen über den rationalen Zahlen [mm]\IQ[/mm]
> bestimmen soll:
Wie lautet denn der Vektorraum und wie lautet die Abbildung? Gibt es noch weitere Angaben zu dieser Frage?
Viele Grüße,
Marc
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Leider steht in der Aufgabenstellung sonst nichts, was mir weiterhelfen würde. Hier ist sie nochmal wörtlich wie sie uns gestellt wurde:
Findet die Minimalpolynome der folgenden reellen Zahlen über [mm]\IQ[/mm].
Und diese Frage bezieht sich auf die beiden reellen Zahlen (1) und (2).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 16.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
ich habe nicht viel Zeit, daher nur eine kurze Antwort:
Zu den Minimalpolynomen:
Wenn du das Minimalpolynom [mm] $m_a \in \IQ[X]$ [/mm] zu einem Element $a$ einer Körpererweiterung [mm] $L:\IQ$ [/mm] finden willst, dann suchst du dir zunächst ein $f [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] mit $f(a)=0$. Wenn $f$ irreduzibel ist, dann gilt natürlich [mm] $f=m_a$. [/mm] Ansonsten ist [mm] $m_a$ [/mm] ein Teiler von $f$ in [mm] $\IQ[X]$. [/mm] Es gilt:
[mm] $Grad(m_a) [/mm] = [mm] [\IQ(a):\IQ]$.
[/mm]
Versuche es jetzt mal damit...
> (3) Bestimmt eine Zahl [mm]x\in\IR[/mm], so dass
> [mm]\IQ(a)=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})[/mm]. Kann man [mm]a=\wurzel{6}[/mm]
> nehmen?
Nein, natürlich nicht. Stattdessen ist [mm] $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] ein primitives Element von [mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}):\IQ$, [/mm] d.h. es gilt:
[mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})= \IQ(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
[/mm]
Der Beweis ist recht einfach, versuche ihn bitte zunächst selber zu führen und melde dich wieder, wenn du Fragen hast.
Liebe Grüße
Stefan
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