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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha \in \IC [/mm] eine Lösung der Gleichung [mm] \alpha^{3}+2\alpha-1=0. [/mm] Bestimmen Sie explizit das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ [/mm] sowie das Minimalpolynom von [mm] \beta [/mm] := [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ. [/mm]
Hinweis: Das charakteristische Polynom der [mm] \IQ-linearen [/mm] Abbildung [mm] \*\beta: \IQ(\alpha) \to \IQ(\alpha) [/mm] annuliert [mm] \beta [/mm] (Cayley-Hamilton) |
Hallo Leute,
das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ [/mm] habe ich bestimmen können, das ist [mm] X^{3}+2X-1. [/mm] Es gilt dann [mm] \IQ(\alpha)=\IQ/(X^{3}+2X-1) [/mm] und [mm] \IQ(\alpha) [/mm] hat als [mm] \IQ [/mm] Vektorraum die Dimension 3 mit möglicher Basis [mm] (1,\alpha,\alpha^{2}).
[/mm]
Ich denke, das müsste soweit stimmen. Jetzt kommt der Schritt an dem ich hänge: Damit ich den Hinweis benutzen kann, möchte ich nun die darstellende Matrix der [mm] \IQ-linearen [/mm] Abbildung [mm] \*\beta: \IQ(\alpha) \to \IQ(\alpha) [/mm] aufstellen (um die Notation zu vereinfachen, nenn ich [mm] \*\beta [/mm] einfach f). Ich bilde also die einzelnen Basisvektoren 1, [mm] \alpha,\alpha^{2} [/mm] mit f ab und stelle jeweils das Bild als Linearkombination eben dieser Basisvektoren dar:
f(1) = [mm] \beta*1 [/mm] = [mm] \alpha^{2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] = 0 * 1 + 1 * [mm] \alpha [/mm] + 1 * [mm] \alpha^{2}
[/mm]
doch schon beim zweiten Basisvektor habe ich ein Problem
[mm] f(\alpha) [/mm] = [mm] \beta*\alpha [/mm] = [mm] \alpha^{3} [/mm] * [mm] \alpha^{2}
[/mm]
wie stelle ich dies jetzt als Linearkombination mittels der Basisvektoren dar? Das [mm] \alpha^{3} [/mm] bereitet mir hier Probleme, da die Basis ja nur bis [mm] \alpha^{2} [/mm] geht.
Wäre nett, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen könnte, da mir das einfach keine Ruhe lässt.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Fr 18.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\alpha \in \IC[/mm] eine Lösung der Gleichung
> [mm]\alpha^{3}+2\alpha-1=0.[/mm] Bestimmen Sie explizit das
> Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ[/mm] sowie das
> Minimalpolynom von [mm]\beta[/mm] := [mm]\alpha^{2}[/mm] + [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> Hinweis: Das charakteristische Polynom der [mm]\IQ-linearen[/mm]
> Abbildung [mm]\*\beta: \IQ(\alpha) \to \IQ(\alpha)[/mm] annuliert
> [mm]\beta[/mm] (Cayley-Hamilton)
> Hallo Leute,
>
> das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ[/mm] habe ich bestimmen
> können, das ist [mm]X^{3}+2X-1.[/mm] Es gilt dann
> [mm]\IQ(\alpha)=\IQ/(X^{3}+2X-1)[/mm] und [mm]\IQ(\alpha)[/mm] hat als [mm]\IQ[/mm]
> Vektorraum die Dimension 3 mit möglicher Basis
> [mm](1,\alpha,\alpha^{2}).[/mm]
>
> Ich denke, das müsste soweit stimmen. Jetzt kommt der
> Schritt an dem ich hänge: Damit ich den Hinweis benutzen
> kann, möchte ich nun die darstellende Matrix der
> [mm]\IQ-linearen[/mm] Abbildung [mm]\*\beta: \IQ(\alpha) \to \IQ(\alpha)[/mm]
> aufstellen (um die Notation zu vereinfachen, nenn ich
> [mm]\*\beta[/mm] einfach f). Ich bilde also die einzelnen
> Basisvektoren 1, [mm]\alpha,\alpha^{2}[/mm] mit f ab und stelle
> jeweils das Bild als Linearkombination eben dieser
> Basisvektoren dar:
>
> f(1) = [mm]\beta*1[/mm] = [mm]\alpha^{2}[/mm] + [mm]\alpha[/mm] = 0 * 1 + 1 * [mm]\alpha[/mm] +
> 1 * [mm]\alpha^{2}[/mm]
>
> doch schon beim zweiten Basisvektor habe ich ein Problem
>
> [mm]f(\alpha)[/mm] = [mm]\beta*\alpha[/mm] = [mm]\alpha^{3}[/mm] * [mm]\alpha^{2}[/mm]
>
> wie stelle ich dies jetzt als Linearkombination mittels der
> Basisvektoren dar? Das [mm]\alpha^{3}[/mm] bereitet mir hier
> Probleme, da die Basis ja nur bis [mm]\alpha^{2}[/mm] geht.
Es ist doch [mm] $\alpha^3 [/mm] = 1 - 2 [mm] \alpha$. [/mm] Damit ist [mm] $\alpha^3 [/mm] + [mm] \alpha^2 [/mm] = 1 - 2 [mm] \alpha [/mm] + [mm] \alpha^2$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix,
ohmann, darauf hätte ich auch selber kommen müssen -.-
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Liebe Grüße
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