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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Do 06.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\alpha$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\alpha^3+2\alpha-1 [/mm] = 0$. Es ist [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch über [mm] $\IQ$. [/mm] Man bestimme das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] sowie dasjenige von [mm] $\alpha^2+\alpha$, [/mm] jeweils über [mm] $\IQ$. [/mm] |
Hallo,
da nach Voraussetzung mit [mm] $f=X^3+2X-1 \in \IQ[X]$ [/mm] gilt: [mm] $f(\alpha)=0$ [/mm] kann man folgern: [mm] $min_\IQ(\alpha) \: [/mm] | [mm] \: [/mm] f$.
Wir reduzieren die Koeffizienten von f modulo 3 und sehen dann, dass f in [mm] $\IF_3[X]$ [/mm] keine Nullstellen hat. Damit ist f, da vom Grad 3, irreduzibel, also gilt bereits [mm] $min_\IQ(\alpha) [/mm] = f$.
Wie kann ich nun eine Aussage über [mm] $\alpha^2+\alpha$ [/mm] treffen? Es wird auf jeden Fall nicht durch f annuliert. Das einzige, das ich weiß, ist, dass [mm] $min_{\IQ(\alpha)}=X-\alpha^2-\alpha$, [/mm] aber das bringt mich nicht wirklich weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Sei [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC[/mm] mit [mm]\alpha^3+2\alpha-1 = 0[/mm]. Es ist [mm]\alpha[/mm]
> algebraisch über [mm]\IQ[/mm]. Man bestimme das Minimalpolynom von
> [mm]\alpha[/mm] sowie dasjenige von [mm]\alpha^2+\alpha[/mm], jeweils über
> [mm]\IQ[/mm].
>
> da nach Voraussetzung mit [mm]f=X^3+2X-1 \in \IQ[X][/mm] gilt:
> [mm]f(\alpha)=0[/mm] kann man folgern: [mm]min_\IQ(\alpha) \: | \: f[/mm].
>
> Wir reduzieren die Koeffizienten von f modulo 3 und sehen
> dann, dass f in [mm]\IF_3[X][/mm] keine Nullstellen hat. Damit ist
> f, da vom Grad 3, irreduzibel, also gilt bereits
> [mm]min_\IQ(\alpha) = f[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich nun eine Aussage über
> [mm]\alpha^2+\alpha[/mm] treffen? Es wird auf jeden Fall nicht durch
> f annuliert. Das einzige, das ich weiß, ist, dass
> [mm]min_{\IQ(\alpha)}=X-\alpha^2-\alpha[/mm], aber das bringt mich
> nicht wirklich weiter. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Es gilt ja $3 = [mm] [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ(\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha)] [\IQ(\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] : [mm] \IQ]$. [/mm] Damit hat das MiPo von [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] entweder Grad 1 oder 3 ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
Allerdings: eine Basis von [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist durch $1, [mm] \alpha, \alpha^2$ [/mm] gegeben. Damit kann [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha \not\in \IQ$ [/mm] sein. Also hat das Minimalpolynom Grad $> 1$, also Grad 3.
Um das Minimalpolynom von [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] jetzt zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:
* Berechne [mm] $\beta^3, \beta^2, \beta, [/mm] 1$ und schreibe es jeweils in der Form $a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c$ mit $a, b, c [mm] \in \IQ$. [/mm] Dazu benutzt du, dass [mm] $\alpha^3 [/mm] = 1 - 2 [mm] \alpha$ [/mm] ist.
* Jetzt bestimme eine Linearkombination [mm] $\beta^3 [/mm] = A [mm] \beta^2 [/mm] + B [mm] \beta [/mm] + C$ mit $A, B, C [mm] \in \IQ$. [/mm] Das kannst du etwa mit einem linearen Gleichungssystem machen (benutze dafuer, dass $1, [mm] \alpha, \alpha^2$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] linear unabhaengig sind).
* Wenn du $A, B, C$ haat, dann ist [mm] $X^3 [/mm] - A [mm] X^2 [/mm] - B X - C [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] ein Polynom, welches [mm] $\alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha$ [/mm] als Nullstelle hast. Da wir wissen, dass das MiPo Grad 3 hat und normiert ist, und unser Polynom ein Vielfaches des MiPos ist, muss unser Polynom bereits gleich dem MiPo sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 06.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Riesen Dank. Habs mit deiner Anleitung hinbekommen.
LG Lippel
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