Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | sei L/K algebraische Körpererweiterung. Warum ist das Minimalpolynom eines [mm] \alpha \in [/mm] L-K eindeutig? |
es gibt da wohl verschiedene beweise zu, einer mit widerspruch und einer mithilfe der HIR- eigenschaft von K[x].
Ich dachte immer dass man das so zeigen kann, dass wenn g, h beide Minimalpolynome, dann sind beide normiert, haben [mm] \alpha [/mm] als nullstelle und haben denselben Grad, damit wären sie schon gleich falls sie quadratisch sind, denn das Polynom soll ja aus K[x] sein, aber wie macht man das sonst?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 09.10.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> sei L/K algebraische Körpererweiterung. Warum ist das
> Minimalpolynom eines [mm]\alpha \in[/mm] L-K eindeutig?
> es gibt da wohl verschiedene beweise zu, einer mit
> widerspruch und einer mithilfe der HIR- eigenschaft von
> K[x].
>
> Ich dachte immer dass man das so zeigen kann, dass wenn g,
> h beide Minimalpolynome, dann sind beide normiert, haben
> [mm]\alpha[/mm] als nullstelle und haben denselben Grad,
sonst wäre das mit dem höheren Grad nämlich kein MP
> damit
> wären sie schon gleich falls sie quadratisch sind, denn
> das Polynom soll ja aus K[x] sein, aber wie macht man das
> sonst?
Das verstehe ich jetzt so nicht. Aber die Differenz wäre auch ein Pol. mit der Nullst. [mm] \alpha [/mm] und hätte kleineren Grad oder wäre das Nullpoynom. Ersteres kann nicht sein nach Def. von MP.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
vielen dank
Kennt vielleicht auch jemand den anderen beweis oder weiß in welchem buch ich den finden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 09.10.2009 | | Autor: | statler |
> Kennt vielleicht auch jemand den anderen beweis oder weiß
> in welchem buch ich den finden kann?
Ich betrachte alle Polynome mit [mm] \alpha [/mm] als Nullstelle, die bilden ein Ideal, also ein Hauptideal, ein erzeugendes Element ist sowieso bis auf eine Einheit eindeutig, wenn es normiert ist, ist es eindeutig.
Gruß
Dieter
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