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| Aufgabe | | Sei A eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix. Zeigen Sie: Wenn das Minimalpolynom von A irreduzibel mit Grad t ist, so ist n ein ganzzahliges Vielfaches von t. |
Hallo,
schon wieder das geliebte Minimalpolynom.
Das Minimalpolynom ist Teiler des charakteristischen, d.h. sei [mm] \mu_A [/mm] das Minimalpolynom und [mm] \chi_A [/mm] das charakteristische, dann gibt es Polynom [mm] \phi, [/mm] mit [mm] \chi_A=\phi \mu_A.
[/mm]
Der Grad von [mm] \chi_A [/mm] könnte n sein. Ich hoffe das bringt mich näher ans Ziel...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei A eine [mm]n\times[/mm] n-Matrix. Zeigen Sie: Wenn das
> Minimalpolynom von A irreduzibel mit Grad t ist, so ist n
> ein ganzzahliges Vielfaches von t.
>
> schon wieder das geliebte Minimalpolynom.
> Das Minimalpolynom ist Teiler des charakteristischen, d.h.
> sei [mm]\mu_A[/mm] das Minimalpolynom und [mm]\chi_A[/mm] das
> charakteristische, dann gibt es Polynom [mm]\phi,[/mm] mit
> [mm]\chi_A=\phi \mu_A.[/mm]
Ja. Hier brauchst du aber noch mehr. Wenn etwa $x - 1$ das Minimalpolynom ist, kann das charakteristische Polynom dann $(x - 1) (x - 2)$ sein? Wenn nein, warum nicht?
> Der Grad von [mm]\chi_A[/mm] könnte n sein. Ich hoffe das bringt
> mich näher ans Ziel...
Nein, bringt es dich nicht, schliesslich ist [mm] $\deg \chi_A [/mm] = n$ ein trivialer Spezialfall. Der interessante Fall ist [mm] $\deg \chi_A [/mm] < n$, darueber sagt der Spezialfall gar nichts aus.
LG Felix
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> Hallo!
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> > Sei A eine [mm]n\times[/mm] n-Matrix. Zeigen Sie: Wenn das
> > Minimalpolynom von A irreduzibel mit Grad t ist, so ist n
> > ein ganzzahliges Vielfaches von t.
> >
> > schon wieder das geliebte Minimalpolynom.
> > Das Minimalpolynom ist Teiler des charakteristischen,
> d.h.
> > sei [mm]\mu_A[/mm] das Minimalpolynom und [mm]\chi_A[/mm] das
> > charakteristische, dann gibt es Polynom [mm]\phi,[/mm] mit
> > [mm]\chi_A=\phi \mu_A.[/mm]
>
> Ja. Hier brauchst du aber noch mehr. Wenn etwa [mm]x - 1[/mm] das
> Minimalpolynom ist, kann das charakteristische Polynom dann
> [mm](x - 1) (x - 2)[/mm] sein? Wenn nein, warum nicht?
>
Nee, weil das Minimalpolynom alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms enthält. Die Frage ist, wie hängt das alle mit n zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Sei A eine [mm]n\times[/mm] n-Matrix. Zeigen Sie: Wenn das
> > > Minimalpolynom von A irreduzibel mit Grad t ist, so ist n
> > > ein ganzzahliges Vielfaches von t.
> > >
> > > schon wieder das geliebte Minimalpolynom.
> > > Das Minimalpolynom ist Teiler des
> charakteristischen,
> > d.h.
> > > sei [mm]\mu_A[/mm] das Minimalpolynom und [mm]\chi_A[/mm] das
> > > charakteristische, dann gibt es Polynom [mm]\phi,[/mm] mit
> > > [mm]\chi_A=\phi \mu_A.[/mm]
> >
> > Ja. Hier brauchst du aber noch mehr. Wenn etwa [mm]x - 1[/mm] das
> > Minimalpolynom ist, kann das charakteristische Polynom dann
> > [mm](x - 1) (x - 2)[/mm] sein? Wenn nein, warum nicht?
> >
> Nee, weil das Minimalpolynom alle Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms enthält. Die Frage ist, wie
> hängt das alle mit n zusammen?
Sei $f$ das irreduzible Minimalpolynom von $A$.
Kann das charakteristische Polynom z.B. die Form $f [mm] \cdot [/mm] g$ haben, wobei $g$ ein von $f$ verschiedenes irreduzibles Polynom ist?
LG Felix
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> Kann das charakteristische Polynom z.B. die Form [mm]f \cdot g[/mm]
> haben, wobei [mm]g[/mm] ein von [mm]f[/mm] verschiedenes irreduzibles Polynom
> ist?
>
> LG Felix
>
Nein von f verschieden kann es nicht sein, es kann höchstens das Minimalpolynom [mm] f^x [/mm] sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Kann das charakteristische Polynom z.B. die Form [mm]f \cdot g[/mm]
> > haben, wobei [mm]g[/mm] ein von [mm]f[/mm] verschiedenes irreduzibles Polynom
> > ist?
> >
> > LG Felix
> >
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> Nein von f verschieden kann es nicht sein, es kann
> höchstens das Minimalpolynom [mm]f^x[/mm] sein.
Genau. Es gilt also [mm] $\chi_A [/mm] = [mm] f^m$ [/mm] fuer ein $m [mm] \in \IN$. [/mm] Und es ist $n = [mm] \deg \chi_A$. [/mm] Also...?
LG Felix
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> Hallo!
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> > > Kann das charakteristische Polynom z.B. die Form [mm]f \cdot g[/mm]
> > > haben, wobei [mm]g[/mm] ein von [mm]f[/mm] verschiedenes irreduzibles Polynom
> > > ist?
> > >
> > > LG Felix
> > >
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> > Nein von f verschieden kann es nicht sein, es kann
> > höchstens das Minimalpolynom [mm]f^x[/mm] sein.
>
> Genau. Es gilt also [mm]\chi_A = f^m[/mm] fuer ein [mm]m \in \IN[/mm]. Und es
> ist [mm]n = \deg \chi_A[/mm]. Also...?
>
> LG Felix
Dann ist n=mt und es folgt Beh.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 12.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Genau. Es gilt also [mm]\chi_A = f^m[/mm] fuer ein [mm]m \in \IN[/mm]. Und es
> > ist [mm]n = \deg \chi_A[/mm]. Also...?
>
> Dann ist n=mt und es folgt Beh.
Wenn $t = [mm] \deg [/mm] f$ ist, ja.
LG Felix
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