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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_{n} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 eine Matrix vom Rang 1. Beweisen Sie, dass [mm] \mu_{A} [/mm] den Grad 2 hat |
Ich denke seit Tagen über diese Aufgabe nach, doch komme auf keine Lösung, da mir der entscheidende Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und dem Grad der Matrix fehlt.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie man an diese Aufgabe rangeht.
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Es hat was den Eigenwerten zu tun: wieviele von 0 verschiedene Eigenwerte kann eine Matrix mit Rang 1 haben? Warum?
Dann kommt noch die 0 dazu. Wie sieht dann das Minimalpolynom aus?
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Hallo,
ergänzend zu generation...x' Tip noch folgendes:
Wenn der Rang der Matrix =1 ist, ist die Matrix ähnlich zu [mm] \pmat{ a_{11} & 0 &..&0\\ a_{21} & 0 &..&0\\ ..\vdots & \vdots &\vdots&\vdots\\ a_{n1} & 0 &..&0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Danke für die Tipps.
Eine Matrix vom Rang 1 hat nur einen Eigenwert [mm] \not= [/mm] 0.
Da immer nur die beiden ersten Summanden bei der Berechnung stehenbleiben. Allerdings weiß ich nicht wie ich das beweisen soll.
Zu Angela´s Tipp:
Ich weiß, dass das charakt. Polynom (und das Minimalpolynom) von zwei ähnlichen Matrizen gleich ist. Ich weiß nicht, ob ich mich irre, aber wenn ich das charakt. Polynom von der ähnl. Matrix ausrechnen würde, würde da ja [mm] x^{n} [/mm] rauskommen, da bis auf eine Spalte ja alles 0 ist.
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> Danke für die Tipps.
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> Eine Matrix vom Rang 1 hat nur einen Eigenwert [mm]\not=[/mm] 0.
> Da immer nur die beiden ersten Summanden bei der
> Berechnung stehenbleiben. Allerdings weiß ich nicht wie ich
> das beweisen soll.
>
> Zu Angela´s Tipp:
> Ich weiß, dass das charakt. Polynom (und das
> Minimalpolynom) von zwei ähnlichen Matrizen gleich ist.
Genau.
> Ich
> weiß nicht, ob ich mich irre, aber wenn ich das charakt.
> Polynom von der ähnl. Matrix ausrechnen würde, würde da ja
> [mm]x^{n}[/mm] rauskommen, da bis auf eine Spalte ja alles 0 ist.
Das ist nicht richtig. Rechne doch jetzt - als Experiment - man das charakteristische Polynom von [mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 3 & 0&0\\ 4&0&0 } [/mm] aus.
Danach kriegst Du es für den allgemeinen Fall hin.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Chichisama |
Jetzt ist mir alles klar. Vielen Dank!!!
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