Minima und Maxima bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktion $f : [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] welche durch
$f(x,y) := [mm] (x^2+2y^2) \cdot e^{-(x^2+y^2)}$
[/mm]
gegeben ist, alle lokalen Minimum- und Maximumstellen und die dazugehörigen lokalen Extrema. handelt es sich hierbei um isolierte oder nicht isolierte Extremstellen? |
Hallo zusammen,
ich habe bereits alle partiellen Ableitungen berechnet, den Gradienten aufgestellt und diesen gleich null gesetzt um die "Kandidaten" für die Extremstellen zu finden:
[mm] $P_1(0,\pm1), P_2(\pm1,0), P_3(0,0)$
[/mm]
Nun habe ich die Hesse-Matrix aufgestellt …
[mm] $H_f(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }$
[/mm]
… und diese an den jeweiligen Punkten berechnet um herauszufinden, ob es sich um ein lokales Maximum (= Hesse-Matrix ist negativ definit, also alle Eigenwerte negativ) oder um ein lokales Minimum (= Hesse-Matrix ist positiv definit, also alle Eigenwerte positiv) handelt:
[mm] $H_f(0,1) [/mm] = [mm] H_f(0,-1) [/mm] = [mm] \pmat{ -\frac{2}{e} & 0 \\ 0 & -\frac{8}{e} }$
[/mm]
[mm] $H_f(1,0) [/mm] = [mm] H_f(-1,0) [/mm] = [mm] \pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{2}{e} }$
[/mm]
[mm] $H_f(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }$
[/mm]
Also:
[mm] $P_1(0,\pm1)$ [/mm] ist ein lokales Maximum
[mm] $P_3(0,0)$ [/mm] ist ein lokales Minimum
[mm] $P_2(\pm1,0)$ [/mm] ist ein Sattelpunkt
Das sind also "alle lokalen Minimum- und Maximumstellen". Was ist nun (in der Aufgabenstellung) mit "und die dazugehörigen lokalen Extrema" gemeint? Ein Minimum/Maximum ist doch ein Extremum bzw. Extrema ist doch der Oberbegriff für Minima und Maxima.
Auch auf die Frage nach den isolierten oder nicht isolierten Extremstellen habe ich leider keine Antwort. Kann ich die Hesse-Matrix verwenden, um das herauszufinden?
Viele Grüße
Patrick
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> Bestimmen Sie für die Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR[/mm], welche
> durch
> [mm]f(x,y) := (x^2+2y^2) \cdot e^{-(x^2+y^2)}[/mm]
> gegeben ist,
> alle lokalen Minimum- und Maximumstellen und die
> dazugehörigen lokalen Extrema. handelt es sich hierbei um
> isolierte oder nicht isolierte Extremstellen?
> Hallo zusammen,
>
> ich habe bereits alle partiellen Ableitungen berechnet, den
> Gradienten aufgestellt und diesen gleich null gesetzt um
> die "Kandidaten" für die Extremstellen zu finden:
>
> [mm]P_1(0,\pm1), P_2(\pm1,0), P_3(0,0)[/mm]
>
> Nun habe ich die Hesse-Matrix aufgestellt …
>
> [mm]H_f(x,y) = \pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }[/mm]
>
> … und diese an den jeweiligen Punkten berechnet um
> herauszufinden, ob es sich um ein lokales Maximum (=
> Hesse-Matrix ist negativ definit, also alle Eigenwerte
> negativ) oder um ein lokales Minimum (= Hesse-Matrix ist
> positiv definit, also alle Eigenwerte positiv) handelt:
>
> [mm]H_f(0,1) = H_f(0,-1) = \pmat{ -\frac{2}{e} & 0 \\ 0 & -\frac{8}{e} }[/mm]
>
> [mm]H_f(1,0) = H_f(-1,0) = \pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{2}{e} }[/mm]
>
> [mm]H_f(0,0) = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> Also:
> [mm]P_1(0%2C%5Cpm1)[/mm] ist ein lokales Maximum
> [mm]P_3(0,0)[/mm] ist ein lokales Minimum
> [mm]P_2(\pm1,0)[/mm] ist ein Sattelpunkt
>
> Das sind also "alle lokalen Minimum- und Maximumstellen".
Hallo,
stimmt.
> Was ist nun (in der Aufgabenstellung) mit "und die
> dazugehörigen lokalen Extrema" gemeint?
Du sollst den zugehörigen Funktionswert mit angeben.
Wie bei Funktionen einer Veränderlichen:
[mm] f(x):=x^2+2 [/mm] hat ein Minimum an der Stelle x=0, der Tiefpunkt ist T(0|2).
Es gibt hier also ein lokales Maximum an der Stelle (0,1), das zugehörige Maximum ist (0,1,2/e).
> Auch auf die Frage nach den isolierten oder nicht
> isolierten Extremstellen habe ich leider keine Antwort.
> Kann ich die Hesse-Matrix verwenden, um das
> herauszufinden?
Ja. Wenn die Matrix pos. definit ist, hast Du ein isoliertes Minimum, Max. analog.
Ein isoliertes Minimum ist eins, bei dem Du eine Umgebung findest, in welcher alle Funktionswerte echt größer als die des betrachteten Minimums sind.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Angela,
> > Was ist nun (in der Aufgabenstellung) mit "und die
> > dazugehörigen lokalen Extrema" gemeint?
>
> Du sollst den zugehörigen Funktionswert mit angeben.
> Wie bei Funktionen einer Veränderlichen:
> [mm]f(x):=x^2+2[/mm] hat ein Minimum an der Stelle x=0, der
> Tiefpunkt ist T(0|2).
>
> Es gibt hier also ein lokales Maximum an der Stelle (0,1),
> das zugehörige Maximum ist (0,1,2/e).
ich verstehe. Das zugehörige Minimum zur Minimumstelle $(0,0)$ ist dann also einfach $(0,0,0)$.
>
> > Auch auf die Frage nach den isolierten oder nicht
> > isolierten Extremstellen habe ich leider keine Antwort.
> > Kann ich die Hesse-Matrix verwenden, um das
> > herauszufinden?
>
> Ja. Wenn die Matrix pos. definit ist, hast Du ein
> isoliertes Minimum, Max. analog.
>
> Ein isoliertes Minimum ist eins, bei dem Du eine Umgebung
> findest, in welcher alle Funktionswerte echt größer als
> die des betrachteten Minimums sind.
Das ist praktisch, denn so muss ich ja gar nicht mehr weiterrechnen.
In diesem Fall sind also alle gefundenen Extremstellen isoliert.
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