Minima und Maxima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Di 05.06.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Funktion f: [mm] \IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto y^2-3xy.
[/mm]
Bestimme Maxima und Minima unter der Nebenbedingung [mm] g(x,y)=3y^2+x^2+2xy-2 [/mm] |
Hi,
hier muss ich ja mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten.
Ich habe wie folgt angefangen.
[mm] L(x,y,\lambda)=y^2-3xy+\lambda*(3y^2+x^2+2xy-2)=y^2-3xy+3*\lambda*y^2+\lambda*x^2+2*\lambda*xy-2\lambda
[/mm]
Jetzt muss ich den (grad [mm] L)(x,y,\lambda)=(0,0,0) [/mm] berechnen.
i) [mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= -3y+2*\lambda*x+2*\lambda*y=0
[/mm]
ii) [mm] \bruch{\partial L}{\partial y}=2y-3x+6*\lambda*y+2*\lambda*x=0
[/mm]
iii) [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda}=3y^2+x^2+2xy-2
[/mm]
Mein Problem: Wie erhalte ich jetzt x,y und [mm] \lambda? [/mm]
Ich habe drei Funktionen und drei Unbekannte, könnte mir also ein Gleichungssystem basteln. Aber das Lösen des GLS bekomme ich nicht hin.
Die partiellen Ableitungen sind doch soweit richtig?
Ich habe versucht, i) und ii) nach [mm] \lambda [/mm] umzustellen und dann gleichzusetzen. Aber irgendwie passt das nicht....
Vielleicht hat ja jemand eine Idee. Bin dankbar für jede Idee.
MfG
barsch
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 06.06.2007 | | Autor: | barsch |
Keine Ideen? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
Hi,
> Funktion f: [mm]\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto y^2-3xy.[/mm]
>
> Bestimme Maxima und Minima unter der Nebenbedingung
> [mm]g(x,y)=3y^2+x^2+2xy-2[/mm]
> Hi,
>
> hier muss ich ja mit dem Lagrange-Multiplikator arbeiten.
> Ich habe wie folgt angefangen.
>
> [mm]L(x,y,\lambda)=y^2-3xy+\lambda*(3y^2+x^2+2xy-2)=y^2-3xy+3*\lambda*y^2+\lambda*x^2+2*\lambda*xy-2\lambda[/mm]
>
> Jetzt muss ich den (grad [mm]L)(x,y,\lambda)=(0,0,0)[/mm]
> berechnen.
>
> i) [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}= -3y+2*\lambda*x+2*\lambda*y=0[/mm]
>
> ii) [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}=2y-3x+6*\lambda*y+2*\lambda*x=0[/mm]
>
> iii) [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}=3y^2+x^2+2xy-2[/mm]
>
> Mein Problem: Wie erhalte ich jetzt x,y und [mm]\lambda?[/mm]
>
> Ich habe drei Funktionen und drei Unbekannte, könnte mir
> also ein Gleichungssystem basteln. Aber das Lösen des GLS
> bekomme ich nicht hin.
wie wärs denn, wenn du die ersten beiden gleichungen mal nach lambda auflöst und dann gleichsetzt? dann hast du eine beziehung zwischen x und y, die du weiter verwenden kannst.
>
> Die partiellen Ableitungen sind doch soweit richtig?
>
> Ich habe versucht, i) und ii) nach [mm]\lambda[/mm] umzustellen und
> dann gleichzusetzen. Aber irgendwie passt das nicht....
>
> Vielleicht hat ja jemand eine Idee. Bin dankbar für jede
> Idee.
>
> MfG
>
> barsch
MFG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 07.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> wie wärs denn, wenn du die ersten beiden gleichungen mal
> nach lambda auflöst und dann gleichsetzt? dann hast du eine
> beziehung zwischen x und y, die du weiter verwenden
> kannst.
>
danke erst einmal für den Tipp. Ich habe jetzt jeweils nach [mm] \lambda [/mm] umgestellt und folgendes erhalten:
[mm] \lambda=\bruch{3y}{2x+2y} [/mm] ergibt sich aus: [mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= -3y+2\cdot{}\lambda\cdot{}x+2\cdot{}\lambda\cdot{}y=0
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{3x-2y}{6y+2x} [/mm] ergibt sich aus: [mm] \bruch{\partial L}{\partial y}=2y-3x+6\cdot{}\lambda\cdot{}y+2\cdot{}\lambda\cdot{}x=0
[/mm]
Gleichsetzen:
[mm] \bruch{3y}{2x+2y}=\bruch{3x-2y}{6y+2x}
[/mm]
[mm] 3y\*(6y+2x)=(3x-2y)\*(2x+2y)
[/mm]
[mm] 18y^2+6xy=6x^2+6xy-4xy-4y^2
[/mm]
[mm] 22y^2-6x^2+4xy=0
[/mm]
Und ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter.
Wie kann ich jetzt Werte für x,y berechnen?
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Do 07.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du kannst einfach nach x oder y auflösen. Das machst du, indem du z.B. x als beliebig nimmst und also Konstante behandelst. Dann hast du eine quadratische Gleichung in y, die du ganz normal ausrechnen kannst. Umgekehrt kannst du auch y als fest annehmen und erhäst dann Auflösungen nach x.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:25 Do 07.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo,
>
> du kannst einfach nach x oder y auflösen. Das machst du,
> indem du z.B. x als beliebig nimmst und also Konstante
> behandelst. Dann hast du eine quadratische Gleichung in y,
> die du ganz normal ausrechnen kannst. Umgekehrt kannst du
> auch y als fest annehmen und erhäst dann Auflösungen nach
> x.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
>
> Gruß
> Hund
dann müsste ich ja
[mm] 22y^2-6x^2+4xy=0 [/mm] berechnen können?
Indem ich umstelle:
[mm] 22y^2+4xy-6x^2=0
[/mm]
und dann die Mitternachts-(nennt sich auch abc-Formel) benutzen können:
[mm] y_{1/2}=\bruch{-4x\pm\wurzel{16x^2+4*22*6x^2}}{2*22}
[/mm]
Aber das ist ja ein komisches Ergebnis für y, oder nicht.
Oder verstehe ich das falsch?
MfG
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 09.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
