Min. + Max. einer Teilmenge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Womayre |
| Aufgabe | | Zeige, dass jede endliche Teilmenge von R ein Maximum sowie ein Minimum hat. Benutze Axiom (A 1(Ordnungs- oder Vollständigkeitsaxiom) und führe den Beweis durch Induktion. |
Hallo,
bin Wima-Student im ersten Semester, hatte leider keinen Mathe-Lk, und tu mir ziemlich schwer beim lösen.
Was muss ich bei dieser Aufgabe machen, welches Axiom ist hier gemeint, wie soll ich dies durch Induktion durchführen.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Womaire,
so weit ich weiß gibt's verschiedene Formulierungen des Vollständigkeitsaxioms. Eine davon ist:
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge reeller Zahlen besitzt ein Supremum (d.h. eine "kleinste obere Schranke).
Eine Folgerung daraus ist, daß jede nichtleere nach unten beschränkte Menge ein Infimum (eine "größte obere Schranke") besitzt.
Zusammengefaßt heißt das: Jede nichtleere beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum und ein Infimum.
Man kann es aber wie gesagt auch anders formulieren; also schick doch bitte mal die Formulierung, die in der Vorlesung/im Skript benutzt wird.
Sind noch Unklarheiten bei den Begriffen "Maximum/Minimum einer Menge"?
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 So 05.11.2006 | | Autor: | Womayre |
Danke Zahlenspieler,
den Begriff Min. und Max. habe ich nun verstanden, aber leider weiß ich nicht wie ich darauf die Induktion ansetzen soll.
Gruß
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Hallo Womayre,
umformuliert würde die Behauptung etwa so lauten: "Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt: Jede $n$-elementige Menge reeller Zahlen besitzt ein Maximum und ein Minimum".
für die Induktion zeigst Du zunächst die Behauptung für eine Menge, die nur eine Zahl enthält. Weil die Überlegungen für diesen Fall aber für *jede* reelle Zahl gelten, hast Du damit gezeigt, daß sie für *alle* 1-elementigen Mengen richtig ist.
Für den Induktionsschritt nimmst Du an, die Behauptung sei für alle $n$-elementigen Mengen reeller Zahlen richtig. Nun nimm an, Du hast eine Menge - sagen wir $A$ mit $n+1$ Elementen, und $B$ sei eine Teilmenge von $A$ mit $n$ Elementen. Nennen wir mal das kleinste Element von B m und das größte M$. Was ergibt sich für die Menge A, wenn
- das übriggebliebene Element kleiner/größer ist als m,
- das übriggebliebene Element kleiner/größer als M ist?
P.s. Vielleicht war das jetzt was abstrakt, probiers mal durch mit z.B. 3-, 4-elementigen Mengen.
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Womayre |
Hallo,
Vielen Dank für deine Hilfe, das hat mir echt geholfen.
Ist eigentlich gar nicht so schwer.
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