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| Aufgabe | Aus einem Milchkaffee (Mischung aus Milch und Kaffee) nimmt man einen Schluck und füllt die getrunkene Menge mit Milch auf.
Am Anfang sei ein Liter Milchkaffee in der Kanne. Dabei sei
a: Anteil des Kaffees am Anfang
b: Anteil des Kaffees am Ende (nachdem getrunken und aufgefüllt wurde)
c: Milchkaffee-Menge pro Schluck
d: Anzahl der Schlucke Milchkaffee
e: gesamte Menge Milch, die aufgefüllt wurde
Frage:
1) In welchem rechnerischen Zusammenhang stehen a,b,c,d und e?
2) Welche maximale Menge an Milch (e sei maximal) muss bei gegebenem a und b aufgefüllt werden?
Es sei 0 < b < a < 1 |
Diese Fragestellung kam mir heute Morgen beim (Milch-)Kaffeetrinken.
Ich habe da zwar schon einiges rausgefunden, aber irgendwie scheint es mir doch noch zu verwirrend.
Zum Beispiel habe ich rausgefunden:
e = c*d und b = [mm] a^{d}*(1-c)
[/mm]
Kann man das jetzt nach c oder d auflösen und dann in e=... einsetzen?
Zu 2) habe ich durch Probieren mit diversen Zahlen rausgefunden:
[mm] \limes_{d\rightarrow\infty} [/mm] e = ln [mm] (\bruch{a}{b})
[/mm]
Macht so etwas einen Sinn ? - Das hieße: Die maximale Nachfüllmenge an Milch ergibt sich dann, wenn man unendlich viele extrem kleine Schlücke nimmt. Aber die Milchmenge ist nach oben hin begrenzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 16.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wie kommst du auf die Formel für b? Dass sie falsch ist, siehst du schon wenn du nicht a<1 sondern a=1 setzr, dann hast du schon nach d=1 a<1, aber dein b hängt nicht von d ab!
2. da b gegen 0 geht geht e gegen [mm] \infty!
[/mm]
Schreib einfach die 2 oder 3 ersten Schritte explizit hin.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 16.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Genau diese Formel für b war ja der Knackpunkt. Irgendwann wurde ich da ganz kirre im Kopf.
Angenommen, d ist 1 (man will nur ein einziges Mal trinken, und dann soll bereits nach dem Auffüllen der Milch die neue Mischung hergestellt sein):
Dann ist b = a*(1-c)
Zahlenbeispiel:
a ist 0.8 Liter Kaffee (also enthält die Mischung 0.2 Liter Milch).
Nimmt man nun einen Schluck von c = 0.4 Litern, dann enthält dieser 0.4*0.8=0.32 Liter Kaffee und 0.4*0.2=0.08 Liter Milch. Also ist hinterher noch b=0.48 Liter Kaffee in der Kanne. Nun werden die 0.4 getrunkene Menge wieder aufgefüllt - und zwar nur mit Milch.
Beim zweiten Schluck von c = 0.4 Litern, enthält dieser 0.4*0.48=0.192 Liter Kaffee. Die Restmenge an Kaffee ist dann 0.48-0.192= 0.288
Aber wie lautet die Formel dafür???? - Das war ja meine Frage.
Das mit dem a hoch d haut offenbar nicht hin. Da käme was anderes raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Do 16.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Die ominöse Formel scheint zu sein:
b = [mm] a*(1-c)^{d}
[/mm]
Nun müsste man das nach d auflösen und einsetzen in e = d*c
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Do 16.06.2011 | | Autor: | leduart |
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0[/mm]Hallo
damit man nicht immer mit den Bezeichnungen durcheinandder kommt;
Dein [mm] b=a_n a=a_0
[/mm]
d=n c bleibt c<1 und 1-c=q<1
richtig hast du [mm] a_n=a_0*q^n [/mm] d.h.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0[/mm] , aber [mm] a_n>0 [/mm] für alle endlichen n
damit ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} e_n=\limes_{n\rightarrow\infty} n*c=\infty$
[/mm]
allerdings hast du für große n nur noch Bruchteile eines Kaffemoleküls in der Kanne. rechne also n aus, so dass nur noch 1 Kaffemolekül in deiner Milch ist, spätestens dann ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass du das mit einem Schluck nicht erwischst, so dass dann mit großer Wahrscheinlichkeit sich die Kkaffekonzentration nicht mehr ändert! damit hast du ein endliches e
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Sa 18.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
So, ich meine, jetzt habe ich das, was ich suchte:
Die aufzufüllende Menge an Milch errechnet sich aus
[mm] \bruch{ln(\bruch{b}{a})}{ln(1-c)}*c [/mm] = e
Wenn nun c gegen NULL geht (d.h. wenn die frische Milch nur "Molekülweise" zugeführt wird), dann ist
e = [mm] ln(\bruch{a}{b}) [/mm] , was ich ja schon eingangs geschrieben hatte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Sa 18.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
c gegen 0 heisst ln(1-c) gegen 0! und b gegen a, damit e=0
du kannst nicht c gegen 0 aber b fest wählen.
warum gehst du gar nicht auf posts ein?
Gruss leduart
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> Aus einem Milchkaffee (Mischung aus Milch und Kaffee) nimmt
> man einen Schluck und füllt die getrunkene Menge mit Milch
> auf.
>
> Am Anfang sei ein Liter Milchkaffee in der Kanne. Dabei
> sei
>
> a: Anteil des Kaffees am Anfang
> b: Anteil des Kaffees am Ende (nachdem getrunken und
> aufgefüllt wurde)
> c: Milchkaffee-Menge pro Schluck
> d: Anzahl der Schlucke Milchkaffee
> e: gesamte Menge Milch, die aufgefüllt wurde
>
> Frage:
> 1) In welchem rechnerischen Zusammenhang stehen a,b,c,d
> und e?
> 2) Welche maximale Menge an Milch (e sei maximal) muss bei
> gegebenem a und b aufgefüllt werden?
>
> Es sei 0 < b < a < 1
>
>
> Diese Fragestellung kam mir heute Morgen beim
> (Milch-)Kaffeetrinken.
>
> Ich habe da zwar schon einiges rausgefunden, aber irgendwie
> scheint es mir doch noch zu verwirrend.
>
> Zum Beispiel habe ich rausgefunden:
>
> e = c*d und b = [mm]a^{d}*(1-c)[/mm]
>
> Kann man das jetzt nach c oder d auflösen und dann in
> e=... einsetzen?
>
> Zu 2) habe ich durch Probieren mit diversen Zahlen
> rausgefunden:
>
> [mm]\limes_{d\rightarrow\infty}[/mm] e = ln [mm](\bruch{a}{b})[/mm]
>
> Macht so etwas einen Sinn ? - Das hieße: Die maximale
> Nachfüllmenge an Milch ergibt sich dann, wenn man
> unendlich viele extrem kleine Schlücke nimmt. Aber die
> Milchmenge ist nach oben hin begrenzt.
Hallo rabilein,
ich bin nicht ganz sicher, ob ich die Idee richtig verstanden
habe. Wenn aber nach jedem Schluck mit Milch aufgefüllt
wird, könnte doch der Prozess im Prinzip unendlich weiter-
geführt werden, mit unendlichem Milchnachschub ...
Für die mathematische Beschreibung würde ich wie leduart
etwas andere Bezeichnungen einführen. Den Aspekt, dass
es in einem Gemenge von Kaffee und Milch praktisch
schwer fallen dürfte, die sich darin befindlichen Anteile
von K und M zu messen, wollen wir dabei großzügig bei-
seitelassen ...
Ich würde etwa folgende Bezeichnungen benützen:
n = Anzahl der Schlucke
[mm] K_n [/mm] = Kaffeemenge nach n Schlucken
[mm] M_n [/mm] = Milchmenge nach n Schlucken
a = [mm] K_0
[/mm]
c = Schluckvolumen
q:=1-c
Natürlich soll [mm] K_n+M_n=1 [/mm] gelten (für alle n)
Damit erhalte ich für die Folge der [mm] K_n [/mm] die geometrische
Folge mit [mm] K_n [/mm] = [mm] a*q^n [/mm] .
Die insgesamt nachzufüllende Milchmenge ist so
groß wie die insgesamt getrunkene Menge Milchkaffee,
also bei n Schlucken einfach n*c .
Jetzt muss ich nur nachfragen, was ich allenfalls miss-
verstanden habe.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Sa 18.06.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Wenn aber nach jedem Schluck mit Milch aufgefüllt wird,
> könnte doch der Prozess im Prinzip unendlich weitergeführt
> werden, mit unendlichem Milchnachschub ...
Ich habe die Formel ja eigentlich schon ganz unten geschrieben.
Unendlichen Milchnachschub gibt es aber nur, wenn b=0 sein soll, wenn also nur noch Milch in der Kanne sein soll ohne ein einziges Kaffee-Molekül.
Deshalb war meine Bedingung ja auch, dass b>0 ist.
> andere Bezeichnungen einführen.
Dann verwirrt das aber alles. Ich hatte am Anfang ja definiert, was die einzelnen Buchstaben bedeuten sollen. Unglücklich ist dabei vielleicht nur das e (weil ich damit die Gesamtmenge an Milch meinte, und nicht die Eulerzahl, an die man wegen dem "ln" in der Formel eventuell denken könnte.
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> Ich habe die Formel ja eigentlich schon ganz unten
> geschrieben.
> Unendlichen Milchnachschub gibt es aber nur, wenn b=0 sein
> soll, wenn also nur noch Milch in der Kanne sein soll ohne
> ein einziges Kaffee-Molekül.
(gibt's überhaupt "Kaffee-Moleküle" ... ?)
> Deshalb war meine Bedingung ja auch, dass b>0 ist.
OK
> > andere Bezeichnungen einführen.
> Dann verwirrt das aber alles. Ich hatte am Anfang ja
> definiert, was die einzelnen Buchstaben bedeuten sollen.
> Unglücklich ist dabei vielleicht nur das e (weil ich damit
> die Gesamtmenge an Milch meinte, und nicht die Eulerzahl,
> an die man wegen dem "ln" in der Formel eventuell denken
> könnte.
Mir war nur wichtig, den Folgenaspekt einzubringen und
habe deshalb n (anstelle von d) und die Bezeichnungen
[mm] K_n [/mm] und [mm] M_n [/mm] und q eingeführt, zusätzlich zu den a,b,c
und e.
Mit den a,b, etc. hat man also die Gleichungen
$\ b\ =\ [mm] K_n\ [/mm] =\ [mm] a*q^n\ [/mm] =\ [mm] a*(1-c)^n$ [/mm] oder mit deiner Notation $\ b\ =\ [mm] a*(1-c)^d$
[/mm]
nicht $\ b\ =\ [mm] a^{d}\cdot{}(1-c) [/mm] $ , wie du zuerst schriebst;
dies hast du ja aber dann auch korrigiert.
Bei der Formel muss man sich nur bewusst sein, dass ja d
nur ganzzahlige Werte hat und deshalb die Gleichung nur
dann wirklich lösbar sein wird, wenn a,b und c "geeignet"
gewählt sind. Für große Werte von d (die dich ja insbesondere
interessieren) wird dies aber unerheblich. Die aufgelöste
Gleichung ist
$\ d\ =\ [mm] \frac{ln(b)-ln(a)}{ln(1-c)}$
[/mm]
Ferner ist $\ e\ =\ d*c$ , also $\ e\ =\ [mm] \frac{ln(b)-ln(a)}{ln(1-c)}*c$
[/mm]
Wegen [mm] $\limes_{c\to0}\ \frac{c}{ln(1-c)}\ [/mm] =\ -1$ folgt dann
[mm] $\limes_{c\to0}\,e(c)\ [/mm] =\ ln(a)-ln(b)\ =\ [mm] ln\left(\frac{b}{a}\right)$
[/mm]
Das war ja dein Ergebnis.
LG Al
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| Aufgabe | | > Wegen [mm]\limes_{c\to0}\ \frac{c}{ln(1-c)}\ =\ -1[/mm] folgt dann .... |
Genau das ( nämlich [mm]\limes_{c\to0}\ \frac{c}{ln(1-c)}\ =\ -1[/mm] ) hatte ich auch rausgekriegt, als ich in meinen Taschenrechner für c einen Wert nahe Null eingab (z.B. 0.001).
Aber wieso ist das so?
Bestimmt kann man so etwas in drei Schritten "beweisen" (?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 18.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Regel von L'Hopital. oder was fast dasselbe ist ln(1-x) in der Nähe von x=0 durch die Tangente in x =0 t(x)=-x ersetzen.
aber noch immer cgegen 0 folgt b gegen a e=ln(1)=0
d.h. der Grenzübergang ist uninteressant!
gruss leduart
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> Hallo
> Regel von L'Hopital. oder was fast dasselbe ist ln(1-x) in
> der Nähe von x=0 durch die Tangente in x =0 t(x)=-x
> ersetzen.
> aber noch immer cgegen 0 folgt b gegen a e=ln(1)=0
> d.h. der Grenzübergang ist uninteressant!
> gruss leduart
Hallo leduart,
dass der Grenzübergang nicht von Interesse sein sollte
(zur Beantwortung von rabileins Frage), verstehe ich
jetzt nicht. Für vorgegebene Werte von a und b , auch
mit b>0 (!) , gilt ja:
e $\ =\ [mm] \frac{ln(b)-ln(a)}{ln(1-c)}\cdot{}c [/mm] $
Rabilein will den Grenzwert von e für den Fall, dass c
gegen 0 strebt. Genau für diese Grenzwertbestimmung
(mit dem Ergebnis ln(a)-ln(b)=ln(a/b) ) braucht man
doch den besagten Limes !
Oder habe ich deine Bemerkung missverstanden ?
LG Al
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