Metrischer Raum, Cauchy Folge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:11 Do 14.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum, [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge in M und [mm] M':=\overline{(x_{n} : n\in\IN)} [/mm] (<-- Abschluss)
Zeigen Sie:
1) [mm] (x_n) [/mm] Cauchyfolge [mm] \Rightarrow [/mm] M' ist total beschränkt
2) [mm] x_n \rightarrow [/mm] x [mm] \Rightarrow M''=(x_n [/mm] : [mm] n\in\IN)\cup(x) [/mm] ist vollständig und stimmt mit M' überein
3) [mm] x_n \rightarrow [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] M' ist kompakt |
Hallo Ihr.
Vielleicht könnt ihr mir hier mal ein paar Tipps geben, wie man vorgehen könnte.
Habe leider keine Idee.
Danke und ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 So 17.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo zusammen.
Ich habe mal ein paar Ideen gesammelt
1)
[mm] (x_n) [/mm] Cauchy Folge [mm] \Rightarrow \forall\epsilon>0 [/mm] : [mm] \exists n_0\in\IN [/mm] : [mm] |x_n-x_m|<\epsilon [/mm] : [mm] \forall m,n\ge n_0
[/mm]
sei [mm] \epsilon [/mm] =1
[mm] |x_n|=|x_n-x_{n_0}+x_{n_0}|\le|x_n-x_{n_0}|+|x_{n_0}| [/mm] (nach Dreiecksungleichung)
[mm] M:=maximum(|x_1|,..,|x_{n_0-1},1+|x_{n_0}|)
[/mm]
[mm] ...<1+|x_{n_0}| \Rightarrow |x_n|\le [/mm] M
somit ist [mm] (x_n) [/mm] beschränkt
da M' der Abschluss von [mm] (x_n) [/mm] ist und [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchy Folge (beschränkt) [mm] \Rightsarrow [/mm]
[mm] \forall\epsilon>0 [/mm] : [mm] \exists n_0\in\IN [/mm] : [mm] (x_n)\in [/mm] M : [mm] M=\bigcup_{i=1}^{n_0} U_\epsilon(x_i)
[/mm]
zu b)
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen x
[mm] \forall\epsilon>0 [/mm] : [mm] \exists n_0\in\IN [/mm] : [mm] |x_n-x|<\epsilon [/mm] : [mm] \forall n\ge n_0
[/mm]
konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] Cauchy Folge [mm] \Rightarrow [/mm] beschränkt durch GW x
[mm] \Rightarrow [/mm] M''vollstandig und M'=M''
c)
[mm] (x_n) [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] nach b) M'=M''=vollständig
[mm] (x_n) [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow (x_n) [/mm] Cauchy Folge [mm] \Rightarrow [/mm] nach a) M' total beschränkt
M' total beschränkt + vollständig [mm] \Rightarrow [/mm] M' kompakt
und was meint ihr dazu
Tschüß und noch einen schönen Sonntag
Tschüß Röby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 So 17.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> 1)
>
> [mm](x_n)[/mm] Cauchy Folge [mm]\Rightarrow \forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_0\in\IN[/mm]
> : [mm]|x_n-x_m|<\epsilon[/mm] : [mm]\forall m,n\ge n_0[/mm]
>
> sei [mm]\epsilon[/mm] =1
Nö, total beschränkt heißt was denn genau? Beliebiges Epsilon gegeben, dannn überdekcen endlich viele Epsilon-Bälle diese Menge.
> [mm]|x_n|=|x_n-x_{n_0}+x_{n_0}|\le|x_n-x_{n_0}|+|x_{n_0}|[/mm] (nach
> Dreiecksungleichung)
>
> [mm]M:=maximum(|x_1|,..,|x_{n_0-1},1+|x_{n_0}|)[/mm]
>
> [mm]...<1+|x_{n_0}| \Rightarrow |x_n|\le[/mm] M
>
> somit ist [mm](x_n)[/mm] beschränkt
Ich versteh hier nicht, was du zeigen willst - vor allem kann man in metrischen Räumen erstmal nicht addieren ... Also: gegeben ein Epsilon, finde endliche viele Epsilon Bälle, die die Menge überdecken. Hier hilft ja ungemein, daß es eine Cauchy-
Folge ist - ein Folgenglied weit hinten bedeutet was ... ?
>
> da M' der Abschluss von [mm](x_n)[/mm] ist und [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy
> Folge (beschränkt) [mm]\Rightsarrow[/mm]
>
> [mm]\forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_0\in\IN[/mm] : [mm](x_n)\in[/mm] M :
> [mm]M=\bigcup_{i=1}^{n_0} U_\epsilon(x_i)[/mm]
Die Idee scheint ja richtig zu sein, irgendwie. Blos mußt du es wohl etwas anders aufschreiben.
> zu b)
>
> [mm](x_n)[/mm] konvergiert gegen x
>
> [mm]\forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_0\in\IN[/mm] : [mm]|x_n-x|<\epsilon[/mm] :
> [mm]\forall n\ge n_0[/mm]
Ja, gut ...
> konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] Cauchy Folge [mm]\Rightarrow[/mm] beschränkt
> durch GW x
beschränkt durch x? Was soll das heißen? Wieso kann im Abschluß nicht mehr entahlten sein? Das ist nicht schwer, aber am Anfang sollte man das beweisen.
> c)
>
> [mm](x_n)[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] nach b) M'=M''=vollständig
> [mm](x_n)[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow (x_n)[/mm] Cauchy Folge
> [mm]\Rightarrow[/mm] nach a) M' total beschränkt
>
> M' total beschränkt + vollständig [mm]\Rightarrow[/mm] M' kompakt
Ja, genau. 
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 17.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Secki.
Danke für deine schnelle Antwort, nochmal ein paar Fragen ...
> Also: gegeben ein Epsilon, finde endliche viele Epsilon
> Bälle, die die Menge überdecken. Hier hilft ja ungemein,
> daß es eine Cauchy-
> Folge ist - ein Folgenglied weit hinten bedeutet was ...
> ?
Das die Folgeglieder ganz nahe aneinander liege
aber wie schreibe ich das am Besten auf???
> > da M' der Abschluss von [mm](x_n)[/mm] ist und [mm](x_n)[/mm] eine Cauchy
> > Folge (beschränkt) [mm]\Rightsarrow[/mm]
> >
> > [mm]\forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_0\in\IN[/mm] : [mm](x_n)\in[/mm] M :
> > [mm]M=\bigcup_{i=1}^{n_0} U_\epsilon(x_i)[/mm]
>
> Die Idee scheint ja richtig zu sein, irgendwie. Blos mußt
> du es wohl etwas anders aufschreiben.
Hast du vielleicht einen Tipp wie???
> > zu b)
> >
> > [mm](x_n)[/mm] konvergiert gegen x
> >
> > [mm]\forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_0\in\IN[/mm] : [mm]|x_n-x|<\epsilon[/mm] :
> > [mm]\forall n\ge n_0[/mm]
>
> Ja, gut ...
>
> > konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] Cauchy Folge [mm]\Rightarrow[/mm] beschränkt
> > durch GW x
>
> beschränkt durch x? Was soll das heißen? Wieso kann im
> Abschluß nicht mehr entahlten sein? Das ist nicht schwer,
> aber am Anfang sollte man das beweisen.
wenn [mm] (x_n) [/mm] konvergiert, gegen x, was soll ich da noch beweisen??
> > c)
> >
> > [mm](x_n)[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] nach b) M'=M''=vollständig
> > [mm](x_n)[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow (x_n)[/mm] Cauchy Folge
> > [mm]\Rightarrow[/mm] nach a) M' total beschränkt
> >
> > M' total beschränkt + vollständig [mm]\Rightarrow[/mm] M' kompakt
>
> Ja, genau.
>
> SEcki
Juhu
Danke für deine Hilfe und ein schönes Wochenende noch
Röby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 17.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Das die Folgeglieder ganz nahe aneinander liege
>
> aber wie schreibe ich das am Besten auf???
Nene, du musst für beliebiges Epsilon eine Übderckubng durch denliche viele Umgebungen finden ...
> Hast du vielleicht einen Tipp wie???
Wenn ein Epsilon klein genug ist, liegen wohl für ein x weit hinten dann alle weiteren in einer Umgebung. Was bedeutet das für den Abschluß? Welche Umgebungen kreigt man?
> wenn [mm](x_n)[/mm] konvergiert, gegen x, was soll ich da noch
> beweisen??
Was meinst du mit überdeckt?!?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 17.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo Secki.
Nochmal zu
a)
[mm] (x_n) [/mm] Cauchy Folge [mm] \Rightarrow \forall\epsilon>0 [/mm] : [mm] \exists n_o\in\IN [/mm] : [mm] x_n\in U_\epsilon(x_m) [/mm] : [mm] \forall n,m\ge n_0
[/mm]
Def totale Beschränktheit
[mm] \forall\epsilon>0 [/mm] : [mm] \exists n_o\in\IN [/mm] : [mm] x_1,..,x_n \in [/mm] M [mm] :\bigcup_{i=1}^{n_0} U_\epsilon(x_i)
[/mm]
da [mm] (x_n)\in [/mm] M' ergibt sich ja anhand der beiden Def das M'
total beschränkt ist.
b) wenn [mm] (x_n) [/mm] gegen x konvergiert, ist x auf jeden Fall eine Grenze (o.B.d.A Supremum) für große n und damit ist M'' beschränkt und besitzt ein Supremum
damit ist M'' vollständig
angenommen [mm] M'\not= [/mm] M'' Widerspruch, da beide Mengen die Folge enthalten
da M' der Abschluss, enthält auch GW x, wie auch M''
[mm] \Rightarrow [/mm] M'=M''
Dank dir und einen schönen Sonntag.
Tschüß sagt Röby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 18.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Def totale Beschränktheit
>
> [mm]\forall\epsilon>0[/mm] : [mm]\exists n_o\in\IN[/mm] : [mm]x_1,..,x_n \in[/mm] M
> [mm]:\bigcup_{i=1}^{n_0} U_\epsilon(x_i)[/mm]
Das : soll ein [m]\subset[/m] sein, oder?
> da [mm](x_n)\in[/mm] M' ergibt sich ja anhand der beiden Def das M'
> total beschränkt ist.
Welche [mm][mm] x_1,..,x_n[/m] [/mm] nimmst du denn genau, hm?
> b) wenn [mm](x_n)[/mm] gegen x konvergiert, ist x auf jeden Fall
> eine Grenze (o.B.d.A Supremum) für große n und damit ist
> M'' beschränkt und besitzt ein Supremum
Nichts Supremum hier - wir sind in einem metrischen Raum! Laß Supremum, [m]x_n+x_m[/m] etc pp weg, das ist hier erstmal falsch! Kein Plus, Minus oder Supremum, Infimum in diesen Raum.
> damit ist M'' vollständig
Jede Cauchyfolge konvergiert, das ist zu zeigen. Du musst zeigen, daß die Folgen etnweder irgendwann konstant werden, oder aber gegen x knvergieren. Das ist alles.
> angenommen [mm]M'\not=[/mm] M'' Widerspruch, da beide Mengen die
> Folge enthalten
Warum enthält nicht eine Menge mehr Elemente? Das hast du nicht ausgeschlossen ...
SEcki
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