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| Aufgabe | | Sei x€N, A:={a|a€N, [mm] a\le [/mm] x},d die diskrete Metrik. Bestimmen Sie die Menge der offenen mengen im metrischen Raum (A,d). |
Habe keine Ahnung was ich bei dieser Aufgabe machen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei x€N, A:={a|a€N, [mm] a\le [/mm] x},d die diskrete Metrik.
$$x [mm] \in \IN, A:=\{a: a \in \IN \text{ und }a \le x\}\,.$$
[/mm]
> Bestimmen Sie die Menge der offenen mengen im metrischen
> Raum (A,d).
> Habe keine Ahnung was ich bei dieser Aufgabe machen muss.
nun:
die Menge der offenen Mengen ist hier
[mm] $$\mathcal{O}=\{O \subseteq A: \forall o \in O \exists \epsilon=\epsilon_o > 0: \{y \in A: d(o,y) < \epsilon\} \subseteq O\}\,.$$
[/mm]
Nun ist aber
[mm] $$A=\{a: a \in \IN \wedge a \le x\}=\{1,\ldots,x\}\,,$$
[/mm]
jedenfalls unter der Annahme, dass bei Euch $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] gilt.
Die diskrete Metrik besagt hier nur: [mm] $d(r,s):=0\,$ [/mm] für [mm] $r=s\,$ [/mm] und
[mm] $d(r,s):=1\,$ [/mm] für [mm] $r\not=s\,,$ [/mm] wenn $r,s [mm] \in A\,.$
[/mm]
Und klar ist, dass [mm] $\mathcal{O} \subseteq 2^A$ [/mm] gelten wird (mit [mm] $2^A$
[/mm]
bezeichnen wir die Potenzmenge von [mm] $A\,$).
[/mm]
Überleg' Dir mal, warum hier Gleichheit gelten muss.
Tipp: Zu zeigen ist, dass jede Teilmenge von [mm] $A\,$ [/mm] offen bzgl. der diskreten
Metrik ist.
Sei also $T [mm] \in 2^A\,.$ [/mm] Für [mm] $T=\emptyset$ [/mm] ist nichts zu zeigen. Sei [mm] $T\,$ [/mm]
also nicht leer. Sei $t [mm] \in T\,.$ [/mm] Setze [mm] $\epsilon=1\,.$ [/mm] Wie sieht nun
[mm] $$\{y \in A: d(y,t) < \epsilon\}$$
[/mm]
aus?
Gruß,
Marcel
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Danke erstmal für die Antwort.
müsste dann nicht y=t sein ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 18.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Antwort.
> müsste dann nicht y=t sein ??
Wenn $ [mm] \epsilon=1\ [/mm] $ ist, ja.
FRED
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aber irgendwie bringt mich das nicht weiter die Aufgabe zu lösen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aber irgendwie bringt mich das nicht weiter die Aufgabe zu
> lösen.
doch: Für $T [mm] \in 2^A$ [/mm] beliebig haben wir gezeigt: Ist $T [mm] \not=\emptyset$
[/mm]
und $t [mm] \in T\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$\{y \in A: d(y,t) < \epsilon=1\}=\{t\}\,.$$
[/mm]
Nun ist [mm] $\{t\} \subseteq [/mm] T$ wegen $t [mm] \in T\,.$ [/mm] Also ist [mm] $T\,$ [/mm] offen, da $t [mm] \in [/mm] T$
beliebig war.
Beachte: Eigentlich wäre dazu zeigen: Für alle $t [mm] \in [/mm] T$ existiert ein [mm] $\epsilon=\epsilon(t) [/mm] > 0$
so, dass [mm] $\{y \in A: d(y,t) < \epsilon\} \subseteq T\,,$ [/mm] um die Offenheit
von [mm] $T\,$ [/mm] bzgl. der diskreten Metrik [mm] $d\,$ [/mm] auf [mm] $A\,$ [/mm] einzusehen.
Wir haben hier aber sogar gezeigt: Es existiert ein [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm]
nämlich etwa [mm] $\epsilon=1\,$ [/mm] so, dass für alle $t [mm] \in [/mm] T$ schon jede Menge
der Form [mm] $\{y \in A: d(y,t) < \epsilon\}$ [/mm] erfüllt, dass
[mm] $$\{y \in A: d(y,t) < \epsilon\} \subseteq [/mm] T$$
gilt.
Und wie gesagt: Klar ist, dass [mm] $\mathcal{O} \subseteq 2^A\,.$ [/mm] Oben
haben wir nun gezeigt, dass auch [mm] $2^A \subseteq \mathcal{O}$ [/mm] gilt.
Also?
Gruß,
Marcel
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wahrscheinlich ist die Lösung vor meiner Nase, aber ich weiss irgendwie nicht was die mit der Aufgabe von mir wollen :) naja ich gebs auf, trotzdem danke ich dir sehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wahrscheinlich ist die Lösung vor meiner Nase, aber ich
> weiss irgendwie nicht was die mit der Aufgabe von mir
> wollen :) naja ich gebs auf, trotzdem danke ich dir sehr
[mm] $\mathcal{O}$ [/mm] war gesucht - wir haben [mm] $\mathcal{O}\subseteq 2^A \subseteq \mathcal{O}$
[/mm]
nachgewiesen.
Die gesuchte Antwort ist: Die Potenzmenge auf [mm] $A\,$ [/mm] (wir hatten diese
ja nur [mm] $2^A$ [/mm] genannt - das mache ich nicht willkürlich, das ist eine
gängige Bezeichnung. Und wenn Du magst: [mm] $A=\{1,...,x\}$ [/mm] ist eine
[mm] $x\,$-elementige [/mm] Menge - dann hat [mm] $2^A$ [/mm] wieiviele Elemente)?
P.S. Dass Du hier nichts verstehst, liegt einfach daran, dass Du Dich zu
wenig mit der Aufgabe beschäftigt hast. Ich bin mir sicher, dass Du Dir
noch nicht mal wirklich klar gemacht hast, was eigentlich in der Aufgabe
gesucht war. Denn die Lösung der Aufgabe ist wirklich einfach, man muss
aber mal verstehen, was man eigentlich zu tun hat. Und der erste Schritt
für Dich wäre es, mal nachzuschlagen:
1. Wie sind offene Mengen eines metrischen Raumes definiert?
2. Was ist die Menge der offenen Mengen in einem metrischen Raum?
Und dann könntest Du bei 2. schonmal direkt die Frage beantworten:
Warum ist die Menge der offenen Mengen eine Teilmenge der Potenzmenge
der Menge [mm] $M\,,$ [/mm] wenn ein metrischer Raum $(M,d)$ vorliegt?
(Beachte auch: Die Abbildung $d: M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR$ [/mm] heißt dabei METRIK
(auf [mm] $M\,$), [/mm] und DAS PAAR [mm] $(M,d)\,$ [/mm] heißt METRISCHER RAUM! Wobei das
bzgl. EINER FESTEN Abbildung gemeint ist - es gibt ja i.a. sehr viele
mögliche metrische Räume [mm] $(M,d_i)$ [/mm] ($i [mm] \in [/mm] I$), wobei [mm] $d_i: [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR$
[/mm]
METRIKEN (auf [mm] $M\,$) [/mm] sind...)
Gruß,
Marcel
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ich versuch mal die Schritte 1 und 2 zu klären, denn ich habe wirklich nicht verstanden was zu tun ist. Ich danke dir wirklich sehr, find ich super das es solche leute wie dich gibts :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich versuch mal die Schritte 1 und 2 zu klären, denn ich
> habe wirklich nicht verstanden was zu tun ist.
das wäre schon wichtig. Das hier sind in einem gewissen Sinne einfache
Grundlagen der Analysis, die man irgendwann drauf haben sollte.
Mach' Dir das ganze vielleicht erstmal speziell und anschaulich klar, also
am besten mit Mengen des Anschauungsraum [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
> Ich danke
> dir wirklich sehr, find ich super das es solche leute wie
> dich gibts :)
Bitte!
Gruß,
Marcel
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