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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 04.05.2008 | | Autor: | Sahne |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie im metrischen Raum [mm] (\IQ, [/mm] | . |) die Menge der inneren Punkte, der Berührpunkte, der Häufungspunkte, der isolierten Punkte und der Randpunkte der Menge [mm] \IN. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabenstellung leider nicht weiter. Könntet ihr mir bitte ein paar Lösungstipps/-hinweise geben? Vielen Dank schon mal im Voraus.
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Was hast Du denn schon gemacht?
Schreibe bitte die Definitionen von inneren Punkten, etc. auf
und setze jeweils [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IN$ [/mm] und die Abstandsfunktion
gemäss der Aufgabe ein.
z.B.
Jedes Element einer Teilmenge M eines Topologischen Raums X, zu dem sich eine Umgebung in X finden lässt, die vollständig in M liegt, ist ein innerer Punkt von M. (Quelle: Wikipedia)
Was ist M in dieser Aufgabe, was ist X, was heisst Umgebung,...?
Verwende dabei die Definition, die du kennen gelernt hast, diese, die ich aus Wikipedia kopiert habe ist wahscheinlich etwas allgemeiner als Deine.
Gruss
Leo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Sahne |
Erstmal danke für deinen Tipp.
Ich habe die Definition in meinem Skript auf die Aufgabenstellung umgeschrieben und bin dann auf folgendes gekommen:
n [mm] \in \IQ [/mm] heißt innerer Punkt von [mm] \IN [/mm] , wenn es ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 mit [mm] B_\varepsilon(n) \subset \IN [/mm] gibt.
Außerdem weiß ich noch dass für [mm] B_\varepsilon(n)=\{x \varepsilon \IQ | d(x,n)<\varepsilon \} [/mm] gilt.
Mein Problem ist jetzt wie ich auf die Menge der inneren Punkte kommen soll bzw. wie ich mir die inneren Punkte vorstellen kann.
Vielleicht kannst du mir ja noch einmal helfen ;)
lg
Susanne> Was hast Du denn schon gemacht?
>
> Schreibe bitte die Definitionen von inneren Punkten, etc.
> auf
> und setze jeweils [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IN[/mm] und die Abstandsfunktion
> gemäss der Aufgabe ein.
>
> z.B.
>
> Jedes Element einer Teilmenge M eines Topologischen Raums
> X, zu dem sich eine Umgebung in X finden lässt, die
> vollständig in M liegt, ist ein innerer Punkt von M.
> (Quelle: Wikipedia)
>
> Was ist M in dieser Aufgabe, was ist X, was heisst
> Umgebung,...?
>
> Verwende dabei die Definition, die du kennen gelernt hast,
> diese, die ich aus Wikipedia kopiert habe ist wahscheinlich
> etwas allgemeiner als Deine.
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> Gruss
> Leo
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> Erstmal danke für deinen Tipp.
> Ich habe die Definition in meinem Skript auf die
> Aufgabenstellung umgeschrieben und bin dann auf folgendes
> gekommen:
>
> n [mm]\in \IQ[/mm] heißt innerer Punkt von [mm]\IN[/mm] , wenn es ein
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 mit [mm]B_\varepsilon(n) \subset \IN[/mm] gibt.
>
> Außerdem weiß ich noch dass für [mm]B_\varepsilon(n)=\{x \varepsilon \IQ | d(x,n)<\varepsilon \}[/mm]
> gilt.
>
> Mein Problem ist jetzt wie ich auf die Menge der inneren
> Punkte kommen soll bzw. wie ich mir die inneren Punkte
> vorstellen kann.
Wenn du die Definition hast, versuche sie auf einen Punkt $n$ anzuwenden und festzustellen, ob sie auf den Punkt zutrifft.
In manchen Fällen ist es einfacher einen wirklich konkreten Punkt (wie $n=1$) einzusetzen, aber hier ist es gerade so einfach, direkt mit einem beliebigen $n$ anzufangen.
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Nimm irgend ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm]
Dann existiert ein [mm] $q\in\IQ$ [/mm] mit [mm] $0
Dann ist [mm] $n+q\in B_\varepsilon(n)$ [/mm] aber [mm] $n+q\notin\IN$.
[/mm]
Da dies für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gilt, gibt es also keinen Ball um n, der vollständig in [mm] $\IN$ [/mm] enthalten ist, n ist also kein innerer Punkt.
Was können wir daher über innere Punkte von [mm] $\IN$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] aussagen?
Eine ähnliche Argumentation (oder genau gegenteilig) wird dich auch mit den anderen Definitionen weiterbringen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 06.05.2008 | | Autor: | Sahne |
Vielen Dank, dass hat mir sehr weitergeholfen. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe und mir das so durchdenke, komme ich darauf, dass es dann also gar keine inneren punkte von [mm] \IN [/mm] in [mm] \IQ [/mm] gibt.
Ich hoffe meine Folgerung war richtig :)
lg
susanne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Sahne |
Vielen Dank für deine Hilfe zu dieser Aufgabe.
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