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| Aufgabe | | Seine (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und A [mm] \subset [/mm] X. Dann ist A genau dann total beschränkt, wenn [mm] \overline{A} [/mm] kompakt ist. |
Hallo,
ich habe da noch ein Problem, dass ich auch bis morgen lösen sollte.
Mir ist klar, dass ich zwei Richtungen zeigen muss. Einmal von A ist total beschränkt ausgehend und einmal von [mm] \overline{A} [/mm] kompakt ausgehen.
Leider nützt mir diese Erkenntnis nicht viel. Kann mir jemand einen tollen Tipp geben.
Vielen Dank
Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Do 01.06.2006 | | Autor: | Galois |
Hallo teletubbi!
Ich verwende im Folgenden die "Überdeckungs-Definition" von Kompaktheit ("Jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung"). Falls ihr mit der "Folgen-Definition" ("Jede Folge besitzt einen Häufungspunkt") arbeitet, bleibt noch die Äquivalenz beider Definitionen (in metrischen Räumen) zu zeigen.
Also los. Sei zunächst [mm]\overline A[/mm] als kompakt vorausgesetzt und ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gegeben. Jedem [mm]x\in \overline A[/mm] ordnen wie die Kugel [mm]B_{\epsilon/2}(x)[/mm] zu. Hierdurch erhalten wir eine Überdeckung von [mm]\overline A[/mm]. Aufgrund der Kompaktheit von [mm]\overline A[/mm] reichen schon endlich viele dieser Kugeln zur Überdeckung aus: [mm]\bigcup_{i=1}^n B_{\epsilon/2}(x_i)\supseteq\overline A[/mm] für geeignete [mm] $x_1,\dots,x_n\in\overline [/mm] A$.
Hmm - zum Nachweis der Totalbeschränktheit von A bräuchten wir aber eigentlich [mm]y_1,\dots,y_n\in A[/mm] (nicht [mm] "$\overline [/mm] A$") mit [mm]\bigcup_{i=1}^n B_\epsilon(y_i)\supseteq A[/mm]. Dies ist aber kein großes Problem: Wegen [mm] $x_i\in\overline [/mm] A$ gibt es nämlich [mm]y_i\in B_{\epsilon/2}(x_i)\cap A[/mm], mit denen der Beweis problemlos zuende geführt werden kann.
Sei nun umgekehrt A als totalbeschränkt vorausgesetzt, und sei [mm] $\{U_i\}_{i\in I}$ [/mm] eine Überdeckung von [mm]\overline A [/mm] ohne eine endliche Teilüberdeckung. Wir wollen einen Widerspruch konstruieren.
Aus der Totalbeschränktheit von A folgt leicht die Totalbeschränktheit von [mm] $\overline [/mm] A$. Wir können also [mm]\overline A[/mm] durch endlich viele Bälle [mm]B_{1/2}(x_1),\dots, B_{1/2}(x_n)[/mm] [mm] ($x_i\in \overline [/mm] A$) überdecken. Unter diesen muß es einen Ball [mm] $B_{1/2}(x_{i_0})$ [/mm] geben, so daß für die Überdeckung von [mm] $B_{1/2}(x_{i_0})\cap \overline [/mm] A$ nicht schon endlich viele der [mm]U_i[/mm] ausreichen - sonst würden ja auch für [mm] $\overline [/mm] A$ selbst schon endliche viele [mm]U_i[/mm] genügen. Wir setzen [mm]y_1:= x_{i_0}\in \overline A[/mm].
Den Schnitt [mm]B_{1/2}(y_1)\cap \overline A[/mm] können wir wiederum durch endlich viele Bälle mit Radius [mm] $\frac14$ [/mm] und Mittelpunkt in [mm]B_{1/2}(y_1)\cap \overline A[/mm] überdecken. Unter diesen muß es wiederum einen geben, für den der Schnitt mit [mm]B_{1/2}(y_1)\cap \overline A[/mm] der nicht schon durch endlich viele der [mm] $U_i$ [/mm] überdeckt wird. Den entsprechenden Mittelpunkt bezeichnen wir mit [mm] $y_2$. [/mm] Es ist also [mm]y_2\in B_{1/2}(y_1)\cap \overline A[/mm].
Indem wir diese Konstruktion mit den Radien 1/8, 1/16,... fortsetzen, erhalten wir eine Folge von Punkten [mm]y_1, y_2, y_3,\dots[/mm]. Man sieht leicht, daß dies eine Cauchy-Folge ist. Da der Raum X als vollständig vorausgesetzt ist, besitzt diese Folge eine gegen ein [mm] $y\in \overline [/mm] A$ konvergierende Teilfoge [mm] $(y_{i_j})_j$. [/mm] Nun liegt y aber in einer der Mengen [mm]U_i[/mm], es gibt also ein r>0 mit [mm]B_r(y)\subseteq U_i[/mm] für ein geeignetes [mm]i\in I[/mm]. Für hinreichend großes [mm]j\in\IN[/mm] liegt dann aber auch der Ball [mm]B_{1/2^{i_j}}(y_{i_j})[/mm] in [mm]U_i[/mm], was aber der Konstruktion von [mm] $y_{i_j}$ [/mm] widerspricht.
Grüße,
Galois
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Do 01.06.2006 | | Autor: | teletubbi |
Hallo,
super. Vielen Dank. Ich bin die Antwort eben durchgegangen und habe alles verstanden. Nochmals vielen Dank!!!!
Viele liebe Gr´ße
teletubbi
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