Metrische Zusammenhangsbeweise < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 01.05.2005 | | Autor: | d33r |
Hallo Leute!
hab hier 3 Aufgaben zu denen ich nur bedingt Ansätze habe :( Also:
Aufgabe 1:
Zu M [mm] \subset \IR^{n}. [/mm] Dann wird M mit der Standardmetrik d(x,y):=|x-y| von [mm] \IR^{n} [/mm] zum metrischen Raum. Zeigen sie dass eine Menge U [mm] \subset [/mm] M genau dann offen bzgl (M,d) ist, wenn es eine offene Menge W [mm] \subset \IR^{n} [/mm] gibt mit U = M [mm] \cap [/mm] W.
Bei dieser Aufgabe ist mir garnicht klar warum das so sein muss, des weiteren was unterscheidet offen bzgl. einer Metrik von 'normal' offen? Irgendwie fehlt mir hier der Zusammenhang
Aufgabe 2:
Zeigen sie dass [mm] \IR^{2} [/mm] ohne 0 zusammenhängend ist.
(Tip: Zeigen sie dass jede stetige Fkt. von [mm] \IR^{2} [/mm] ohne 0 nach [mm] \IR [/mm] jeden Wert zwischen 2 Fktwerten annimmt. Benutzen sie dannach die Aussage von Beweis 4.9)
Satz 4.9: Jedes Intervall in [mm] \IR [/mm] ist zusammenhängen.
So hier weiss ich wenigstens zum Teil wie das laufen soll. Wenn ich die erste Aussage gezeit habe, das mit den Werten, dann weiss ich dass jede stetige Fkt. in ein Intervall abbildet. Dann weiss ich dass das Bild der stetigen Fkt zush ist => keine offenen disjunkten teimengen hat => Die Urbilder sind zush.
So nur hab ich nur einen Satz der Sagt: "Eine reelle stetige auf zush. metr. Raum nimmt nimmt jeden Wert zw. 2 Fktwerten an." Nur nutzt der Beweis den Widersprich mit der Zusammenhängigkeit. Nur die darf ich ja noch nicht nutzen. Wie dann? :(
Aufgabe3:
Zeige sie dass [mm] \IR [/mm] homeomorph (dh. es ex. stetige, bijekt Abb mit Umkehrabb ebenfalls stetig) zu (0,1) ist.
(Tipp: [mm] \IR^{2} [/mm] bleibt zush wenn man einen Punkt entfernt)
So hier is das wieder sehr verwirrend, da fehlt mir nun wieder jeder Ansatz :(
Ich danke euch schonmal fürs anschauen :)
das sommer d33r
ps: Ich habe diese Frage in einem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Lösung zu Aufgabe 1 kannst du hier nachlesen.
Bei Aufgabe 2 genügt es zu zeigen, dass [mm] $\IR^2 \setminus\{0\}$ [/mm] wegweise zusammenhängend ist (was trivial ist), denn wegweise zusammenhängende topologische Räume sind zusammenhängend. (Hattet ihr diesen Satz schon?).
Zu Aufgabe 3:
Ein Homöomorphismus $(0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] wird durch
$x [mm] \mapsto \tan\left( \left(x + \frac{1}{2} \right)\pi\right)$
[/mm]
gegeben. Den Tipp verstehe ich hier gar nicht. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
