Metriken definieren gl. MS < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 16.07.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Seien [mm] $(X_1,d_1), (X_2,d_2) [/mm] $ metrische Räume. Weiters sei [mm] $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2).$ [/mm] Man zeige nun, dass die Metriken
$d'(x,y): = [mm] d_1(x_1,y_1) [/mm] + [mm] d_2(x_2,y_2) [/mm] $
[mm] $d''(x,y):=\sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2+(d_2(x_2,y_2))^2}$ [/mm]
$d'''(x,y):= [mm] max\{d_1(x_1,y_1),d_2(x_2,y_2)\}$ [/mm] dasgleiche System offener Mengen definieren. |
Mein Problem ist hier nicht, dass ich nicht weiß, WIE ich das zeigen soll, sondern WAS ich hier überhaupt zeigen muss. Was bedeutet denn formal "Die Metriken [mm] $d_1,d_2$ [/mm] erzeugen dasgleiche System offener Mengen" ? Jedenfalls haben wir dazu keine Definition gelernt.
Damit wäre mir sicher schon viel geholfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:32 Di 17.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist (X,d) ein metrischer Raum, so heißt eine Teilmenge M von X offen (bzgl.d), wenn es zu jedem [mm] x_0 \in [/mm] M ein [mm] r=r(x_0)>0 [/mm] gibt mit
[mm] \{x \in X:d(x,x_0)
[mm] O_d [/mm] sei das System der bzgl. d offenen Teilmengen von X.
Sind nun 2 Metriken [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] auf X gegeben, so erzeugen diese das gleiche System offener Mengen, wenn
[mm] O_{d_1}=O_{d_2}
[/mm]
FRED
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