Metriken < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Für [mm] x,y\in \IR^2 [/mm] definieren wir:
[mm] d(x,y):=\begin{cases} |x-y|, & \mbox{falls } x_1y_1>0, oder, (x_1y_1=0, und, x_1+y_1\ge0) \mbox{ } \\ |x|+|y|, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen sie, dass d eine Metrik im [mm] \IR^2 [/mm] ist. Können Sie sich vorestellen was die metrik anschaulich misst ?
b) Geben Sie eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] an, die bezüglich der euklidischen Metrik konvergiert konvergiert aber bezüglich der Metrik d divergiert, und begründen sie ihre Antwort, warum sie dass tut |
Also Aufgabe a) habe ich fast fertig. Die meisten metrik eigenschaften sind auch leicht einsehbar. Bei der dreiecksungleichung hab ich dann eine Fallunterscheidung mit 5 Fällen gemacht.
Doch was misst diese Metrik nun anschaulich ? Also da hab ich irgendwie keine idee. Im grunde steht dort die Dreiecksungleichung, dass bedeutet für sonst ist mein Abstand größer, aber wofür man das nun verwenden kann weiss ich leider nicht :/
Zu b)
Hier hab ich irgendwie meine Probleme. Ich soll eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] angeben die bezüglich der Metrik konvergiert, aber bezüglich der anderen nicht. Ich kann mir noch nicht so recht vorstellen, wie überhaupt eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] aussieht. Im skript sind zwar folgen für [mm] \IR^n [/mm] definiert, aber irgnedwie bringt mich das nicht so recht weiter.
Mein zweites problem ist, dass d sich nur bei |x|+|y| von der euklidischen Metrik unterscheidet. Da aber gilt |x-y| [mm] \le [/mm] |x|+|y| sollte doch im falle einer konvergenz für |x|+|y| auch die konvergenz in der euklidischen metrik gegeben sein oder nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für [mm]x,y\in \IR^2[/mm] definieren wir:
>
> [mm]d(x,y):=\begin{cases} |x-y|, & \mbox{falls } x_1y_1>0, oder, x_1y_1=0, und, x_1+y_1\ge0 \mbox{ gerade} \\ |x|+|y|, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
das "gerade" gehört nicht dazu, das gehört entfernt, oder?
> a) Zeigen sie, dass d eine Metrik im [mm]\IR^2[/mm] ist. Können Sie
> sich vorestellen was die metrik anschaulich misst ?
>
> b) Geben Sie eine Folge im [mm]\IR^2[/mm] an, die bezüglich der
> euklidischen Metrik konvergiertv konvergiert aber
> bezüglich der Metrik d divergiert, und begründen sie ihre
> Antwort, warum sie dass tut
> Also Aufgabe a) habe ich fast fertig. Die meisten metrik
> eigenschaften sind auch leicht einsehbar. Bei der
> dreiecksungleichung hab ich dann eine Fallunterscheidung
> mit 5 Fällen gemacht.
>
> Doch was misst diese Metrik nun anschaulich ? Also da hab
> ich irgendwie keine idee. Im grunde steht dort die
> Dreiecksungleichung, dass bedeutet für sonst ist mein
> Abstand größer, aber wofür man das nun verwenden kann
> weiss ich leider nicht :/
>
> Zu b)
>
> Hier hab ich irgendwie meine Probleme. Ich soll eine Folge
> im [mm]\IR^2[/mm] angeben die bezüglich der Metrik konvergiert,
> aber bezüglich der anderen nicht. Ich kann mir noch nicht
> so recht vorstellen, wie überhaupt eine Folge im [mm]\IR^2[/mm]
> aussieht. Im skrpt sind zwar folgen für [mm]\IR^n[/mm] definiert,
> aber irgnedwie bringt mich das nicht so recht weiter.
>
> Mein zweites problem ist, dass d sich nur bei |x|+|y| von
> der euklidischen Metrik unterscheidet. Da aber gilt |x-y|
> [mm]\le[/mm] |x|+|y| sollte doch im falle einer konvergenz für
> |x|+|y| auch die konvergenz in der euklidischen metrik
> gegeben sein oder nicht ?
Nein, schau' erstmal hier:
https://matheraum.de/read?i=962552
Vielleicht kannst Du Ergebnisse davon auf "Eure Metrik oben" übertragen...
(Es kann auch sein, dass dort eigentlich die gleiche Metrik stehen sollte wie
die, die Du hier notiert hattest. Ich dachte aber, es ginge dort vor allem um
[mm] $d(x,y)=\|x\|+\|y\|$...
[/mm]
Aber versuch' mal, das auf Deine obige Metrik zu übertragen...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> > Für [mm]x,y\in \IR^2[/mm] definieren wir:
> >
> > [mm]d(x,y):=\begin{cases} |x-y|, & \mbox{falls } x_1y_1>0, oder, x_1y_1=0, und, x_1+y_1\ge0 \mbox{ gerade} \\ |x|+|y|, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> das "gerade" gehört nicht dazu, das gehört entfernt,
> oder?
Das ist korrekt, ich habs mal entfernt
> > Zu b)
> >
> > Hier hab ich irgendwie meine Probleme. Ich soll eine Folge
> > im [mm]\IR^2[/mm] angeben die bezüglich der Metrik konvergiert,
> > aber bezüglich der anderen nicht. Ich kann mir noch nicht
> > so recht vorstellen, wie überhaupt eine Folge im [mm]\IR^2[/mm]
> > aussieht. Im skrpt sind zwar folgen für [mm]\IR^n[/mm] definiert,
> > aber irgnedwie bringt mich das nicht so recht weiter.
> >
> > Mein zweites problem ist, dass d sich nur bei |x|+|y| von
> > der euklidischen Metrik unterscheidet. Da aber gilt |x-y|
> > [mm]\le[/mm] |x|+|y| sollte doch im falle einer konvergenz für
> > |x|+|y| auch die konvergenz in der euklidischen metrik
> > gegeben sein oder nicht ?
>
> Nein, schau' erstmal hier:
>
> https://matheraum.de/read?i=962552
Okay, das habe ich nun auch bereits getan
> Vielleicht kannst Du Ergebnisse davon auf "Eure Metrik
> oben" übertragen...
Ich denke das sollte theor. garnicht mal so schwer sein, auch wenn ich mir noch etwas unsicher bin.
> (Es kann auch sein, dass dort eigentlich die gleiche Metrik
> stehen sollte wie
> die, die Du hier notiert hattest. Ich dachte aber, es
> ginge dort vor allem um
> [mm]d(x,y)=\|x\|+\|y\|[/mm]...
> Aber versuch' mal, das auf Deine obige Metrik zu
> übertragen...)
Das habe ich jetzt mal probiert:
Sei [mm] x_n:=(r_n, s_n) [/mm] mit [mm] r_n:= -1-\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] s_n:=0,
[/mm]
Dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = (-1,0).
Dies Folge [mm] x_n [/mm] konvergiert bezüglich der Euklidischen Metrik, denn:
[mm] d((r_n,s_n)(-1,0)):= |(r_n,s_n)-(-1,0)| [/mm]
[mm] \gdw \wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}-(-1))^2+(0-0)^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}+1))^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{((\bruch{-n-1}{n}+1))^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{(-\bruch{1}{n})^2}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Aber es konvergiert nicht bezüglich der Metrik d, denn:
[mm] d((r_n,s_n),(r,s)):=|(r_n,s_n)|+|(r,s)|
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{(-1-\bruch{1}{n})^2}+\wurzel{(-1)^2+0^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(\bruch{-n-1}{n})^2} [/mm] + 1
[mm] \ge \wurzel{(\bruch{-2n}{n})^2} [/mm] + 1
= [mm] \wurzel{(-2)^2} [/mm] + 1
= [mm] \wurzel{4}+1 [/mm] = 3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
Verdammt geht doch nicht :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verdammt geht doch nicht :/
was geht nicht?
Deine Folge [mm] $(r_n,s_n)$ [/mm] ist schon passend, denn [mm] $r_n+s_n [/mm] < 0$ und [mm] $r_n s_n=0$ [/mm] stets...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> > Verdammt geht doch nicht :/
>
> was geht nicht?
>
> Deine Folge [mm](r_n,s_n)[/mm] ist schon passend, denn [mm]r_n+s_n < 0[/mm]
> und [mm]r_n s_n=0[/mm] stets...
>
> Gruß,
> Marcel
Ah ja stimmt, ich hatte es kurzeitig so gelesen, dass [mm] x_1y_1\not=0 [/mm] sein müsste. Aber es muss laut aufgaben blatt [mm] x_1y_1=0 [/mm] und [mm] x_1+y_1>0 [/mm] gelten. Da bei meiner folge aber [mm] x_1+y_1<0 [/mm] gilt, stimmt es schon.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Für [mm]x,y\in \IR^2[/mm] definieren wir:
> > >
> > > [mm]d(x,y):=\begin{cases} |x-y|, & \mbox{falls } x_1y_1>0, oder, x_1y_1=0, und, x_1+y_1\ge0 \mbox{ gerade} \\ |x|+|y|, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > das "gerade" gehört nicht dazu, das gehört entfernt,
> > oder?
>
> Das ist korrekt, ich habs mal entfernt
hier noch nicht. Aber oben sollte man sicher auch:
"falls [mm] $x_1y_1 [/mm] > 0$ oder [mm] ($x_1y_1=0$ [/mm] und [mm] $x_1+y_1 \ge [/mm] 0$)"
schreiben! Oder ist das anders gemeint:
"falls [mm] ($x_1y_1 [/mm] > 0$ oder [mm] $x_1y_1=0$) [/mm] und [mm] $x_1+y_1 \ge 0\,.$"?
[/mm]
> > > Zu b)
> > >
> > > Hier hab ich irgendwie meine Probleme. Ich soll eine Folge
> > > im [mm]\IR^2[/mm] angeben die bezüglich der Metrik konvergiert,
> > > aber bezüglich der anderen nicht. Ich kann mir noch nicht
> > > so recht vorstellen, wie überhaupt eine Folge im [mm]\IR^2[/mm]
> > > aussieht. Im skrpt sind zwar folgen für [mm]\IR^n[/mm] definiert,
> > > aber irgnedwie bringt mich das nicht so recht weiter.
> > >
> > > Mein zweites problem ist, dass d sich nur bei |x|+|y| von
> > > der euklidischen Metrik unterscheidet. Da aber gilt |x-y|
> > > [mm]\le[/mm] |x|+|y| sollte doch im falle einer konvergenz für
> > > |x|+|y| auch die konvergenz in der euklidischen metrik
> > > gegeben sein oder nicht ?
> >
> > Nein, schau' erstmal hier:
> >
> >
> https://matheraum.de/read?i=962552
>
> Okay, das habe ich nun auch bereits getan
>
> > Vielleicht kannst Du Ergebnisse davon auf "Eure Metrik
> > oben" übertragen...
>
> Ich denke das sollte theor. garnicht mal so schwer sein,
> auch wenn ich mir noch etwas unsicher bin.
>
> > (Es kann auch sein, dass dort eigentlich die gleiche Metrik
> > stehen sollte wie
> > die, die Du hier notiert hattest. Ich dachte aber, es
> > ginge dort vor allem um
> > [mm]d(x,y)=\|x\|+\|y\|[/mm]...
> > Aber versuch' mal, das auf Deine obige Metrik zu
> > übertragen...)
>
> Das habe ich jetzt mal probiert:
>
> Sei [mm]x_n:=(r_n, s_n)[/mm] mit [mm]r_n:= -1-\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]s_n:=0,[/mm]
>
> Dann gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= (-1,0).
Ha!! Bezüglicher welcher Metrik denn? Bzgl. der durch die euklidische
Norm induzierten Metrik stimmt das, bzgl. $d\,$ ist das doch falsch!
Beachte, dass die Konvergenz einer Folge eine Eigenschaft ist, die
insbesondere von der Metrik abhängt!! D.h., wenn Du $(M,d)\,$ und
$(M,e)\,$ hast, also zwei metrische Räume, die Metriken sind $d\,$ bzw. $e\,,$
allerdings beides Metriken auf $M\,,$ dann muss man bei dem Symbol $\lim$
wissen, ob es bzgl. $d\,$ oder $e\,$ gemeint ist. Bspw. könnte man in
solchen Fällen $\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!d}{\lim_n \to \infty}x_n$ und $\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!e}{\lim_n \to \infty}x_n$ schreiben,
wenn $(x_n)_n$ eine Folge in $M\,$ ist. Dabei kann es sein, dass der eine
Grenzwert nicht existiert, der andere aber schon, etwa so:
$$\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!d}{\lim_{n \to \infty}x_n}=x_0 \in M\,,$$
aber
$$\stackrel{\!e}{\lim_{n \to \infty}}x_n}$$
existiert nicht...
> Dies Folge [mm]x_n[/mm] konvergiert bezüglich der Euklidischen
> Metrik, denn:
>
> [mm]d((r_n,s_n)(-1,0)):= |(r_n,s_n)-(-1,0)|[/mm]
Nimm' hier ein anderes Symbol, etwa [mm] $d_2$ [/mm] oder [mm] $d_{\|.\|_2}$ [/mm] oder [mm] $d_{|.|}\,.$ [/mm] Das Symbol
[mm] $d\,$ [/mm] ist schon verbraten!!
>
> [mm]\gdw \wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}-(-1))^2+(0-0)^2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}+1))^2}[/mm]
Wie wär's wenn Du hier schon [mm] $-1+1=0\,$ [/mm] ausnutzt, anstatt da mit
Brüchen weiterzurechnen?
> = [mm]\wurzel[2]{((\bruch{-n-1}{n}+1))^2}[/mm]
Unnötig, wenn Du oben [mm] $-1+1=0\,$ [/mm] benutzt! Außerdem brauchst Du keine
zwei Klammernpaare!
> = [mm]\wurzel[2]{(-\bruch{1}{n})^2}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm]
Seit wann ist [mm] $\sqrt{a^2}=a$?? [/mm] Das stimmt nur für $a [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und hier ist
[mm] $a=a_n=-1/n [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm] Also: Was gehört da hin:
[mm] $$\sqrt{(-1/n)^2}=... \text{ ?}$$ [/mm]
> für alle [mm]n\in \IN[/mm]
Wo kommt eigentlich das [mm] $\varepsilon$ [/mm] her? Und wenn, dann müßtest Du
angeben: Wenn [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig ist, dann gilt für alle $n [mm] \ge ...\text{?}$ [/mm] auch
$|1/n| < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
> Aber es
Mit "es" ist die obige Folge [mm] $((r_n,s_n))_n$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] gemeint!
> konvergiert nicht bezüglich der Metrik d, denn:
>
> [mm]d((r_n,s_n),(r,s)):=|(r_n,s_n)|+|(r,s)|[/mm]
Das ist keine Definition, sondern hier gilt mit [mm] $r_n,s_n$ [/mm] wie oben nach
Definition von [mm] $d\,$ [/mm] diese Gleichheit. Begründung?
(Ich meine, wenn Du irgendwo siehst:
[mm] $f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,,$
[/mm]
dann sagst Du auch nicht [mm] "$f(2):=0\,,$" [/mm] sondern Du sagst: Nach Definition von
[mm] $f\,$ [/mm] gilt, weil [mm] $2\,$ [/mm] gerade ist, halt [mm] $f(2)=0\,.$ [/mm] Also: Wie sieht die analoge Begründung
bei Eurer Metrik [mm] $d\,$ [/mm] aus?)
> [mm]\gdw \wurzel{(-1-\bruch{1}{n})^2}+\wurzel{(-1)^2+0^2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{(\bruch{-n-1}{n})^2}[/mm] + 1
>
> [mm]\ge \wurzel{(\bruch{-2n}{n})^2}[/mm] + 1
Was machst Du da oben in der letzten Zeile? Du könntest einfach [mm] $\ge [/mm] 1+1=2$ schreiben!
Das, was Du hier machst, ist falsch!
> = [mm]\wurzel{(-2)^2}[/mm] + 1
>
> = [mm]\wurzel{4}+1[/mm] = 3
Selbst mit der Korrektur: Das zeigt aber nur, dass [mm] $(r_n,s_n) \not\to [/mm] (-1,0)$ bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] bei
$n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt.
Was musst Du genau zeigen, um einzusehen, dass [mm] $((r_n,s_n))_n$ [/mm] divergiert bzgl. [mm] $d\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Für [mm]x,y\in \IR^2[/mm] definieren wir:
> > > >
> > > > [mm]d(x,y):=\begin{cases} |x-y|, & \mbox{falls } x_1y_1>0, oder, x_1y_1=0, und, x_1+y_1\ge0 \mbox{ gerade} \\ |x|+|y|, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > das "gerade" gehört nicht dazu, das gehört entfernt,
> > > oder?
> >
> > Das ist korrekt, ich habs mal entfernt
>
> hier noch nicht. Aber oben sollte man sicher auch:
> "falls [mm]x_1y_1 > 0[/mm] oder ([mm]x_1y_1=0[/mm] und [mm]x_1+y_1 \ge 0[/mm])"
>
> schreiben! Oder ist das anders gemeint:
> "falls ([mm]x_1y_1 > 0[/mm] oder [mm]x_1y_1=0[/mm]) und [mm]x_1+y_1 \ge 0\,.[/mm]"?
Ne ersteres war schon richtig. Ich habs jetzt nochmals bearbeitet :)
> > Okay, das habe ich nun auch bereits getan
> >
> > > Vielleicht kannst Du Ergebnisse davon auf "Eure Metrik
> > > oben" übertragen...
> >
> > Ich denke das sollte theor. garnicht mal so schwer sein,
> > auch wenn ich mir noch etwas unsicher bin.
> >
> > > (Es kann auch sein, dass dort eigentlich die gleiche Metrik
> > > stehen sollte wie
> > > die, die Du hier notiert hattest. Ich dachte aber,
> es
> > > ginge dort vor allem um
> > > [mm]d(x,y)=\|x\|+\|y\|[/mm]...
> > > Aber versuch' mal, das auf Deine obige Metrik zu
> > > übertragen...)
> >
> > Das habe ich jetzt mal probiert:
> >
> > Sei [mm]x_n:=(r_n, s_n)[/mm] mit [mm]r_n:= -1-\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]s_n:=0,[/mm]
> >
> > Dann gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = (-1,0).
>
> Ha!! Bezüglicher welcher Metrik denn? Bzgl. der durch die
> euklidische
> Norm induzierten Metrik stimmt das, bzgl. [mm]d\,[/mm] ist das doch
> falsch!
> Beachte, dass die Konvergenz einer Folge eine Eigenschaft
> ist, die
> insbesondere von der Metrik abhängt!! D.h., wenn Du
> [mm](M,d)\,[/mm] und
> [mm](M,e)\,[/mm] hast, also zwei metrische Räume, die Metriken sind
> [mm]d\,[/mm] bzw. [mm]e\,,[/mm]
> allerdings beides Metriken auf [mm]M\,,[/mm] dann muss man bei dem
> Symbol [mm]\lim[/mm]
> wissen, ob es bzgl. [mm]d\,[/mm] oder [mm]e\,[/mm] gemeint ist. Bspw.
> könnte man in
> solchen Fällen [mm]\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!d}{\lim_n \to \infty}x_n[/mm]
> und [mm]\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!e}{\lim_n \to \infty}x_n[/mm]
> schreiben,
> wenn [mm](x_n)_n[/mm] eine Folge in [mm]M\,[/mm] ist. Dabei kann es sein,
> dass der eine
> Grenzwert nicht existiert, der andere aber schon, etwa
> so:
> [mm]\stackrel{\!\!\!\!\!\!\!d}{\lim_{n \to \infty}x_n}=x_0 \in M\,,[/mm]
>
> aber
> [mm]\stackrel{\!e}{\lim_{n \to \infty}}x_n}[/mm]
> existiert
> nicht...
Da hast du natürlich vollkommen recht. Das hab ich garnicht beachtet. Früher brauchte man sich dadrüber ja keine gedanken machen. Gut, dass du das nochmal erwähnst.
> > Dies Folge [mm]x_n[/mm] konvergiert bezüglich der Euklidischen
> > Metrik, denn:
> >
> > [mm]d((r_n,s_n)(-1,0)):= |(r_n,s_n)-(-1,0)|[/mm]
>
> Nimm' hier ein anderes Symbol, etwa [mm]d_2[/mm] oder [mm]d_{\|.\|_2}[/mm]
> oder [mm]d_{|.|}\,.[/mm] Das Symbol
> [mm]d\,[/mm] ist schon verbraten!!
>
> >
> > [mm]\gdw \wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}-(-1))^2+(0-0)^2}[/mm]
> >
> > = [mm]\wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}+1))^2}[/mm]
>
> Wie wär's wenn Du hier schon [mm]-1+1=0\,[/mm] ausnutzt, anstatt da
> mit
> Brüchen weiterzurechnen?
Ehm ja, wäre vll keine schlechte idee gewesen.
> > = [mm]\wurzel[2]{((\bruch{-n-1}{n}+1))^2}[/mm]
>
> Unnötig, wenn Du oben [mm]-1+1=0\,[/mm] benutzt! Außerdem brauchst
> Du keine
> zwei Klammernpaare!
>
> > = [mm]\wurzel[2]{(-\bruch{1}{n})^2}[/mm]
> >
> > = [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm]
>
> Seit wann ist [mm]\sqrt{a^2}=a[/mm]?? Das stimmt nur für [mm]a \ge 0\,,[/mm]
> und hier ist
> [mm]a=a_n=-1/n < 0\,.[/mm] Also: Was gehört da hin:
> [mm]\sqrt{(-1/n)^2}=... \text{ ?}[/mm]
[mm] \sqrt{(-1/n)^2}= [/mm] 1/n
> > für alle [mm]n\in \IN[/mm]
>
> Wo kommt eigentlich das [mm]\varepsilon[/mm] her? Und wenn, dann
> müßtest Du
> angeben: Wenn [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig ist, dann gilt für
> alle [mm]n \ge ...\text{?}[/mm] auch
> [mm]|1/n| < \varepsilon\,.[/mm]
Für [mm] \varepsilon>0, [/mm] dann gilt für alle [mm] n>\bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
> > Aber es
>
> Mit "es" ist die obige Folge [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] des [mm]\IR^2[/mm]
> gemeint!
>
> > konvergiert nicht bezüglich der Metrik d, denn:
> >
> > [mm]d((r_n,s_n),(r,s)):=|(r_n,s_n)|+|(r,s)|[/mm]
>
> Das ist keine Definition, sondern hier gilt mit [mm]r_n,s_n[/mm] wie
> oben nach
> Definition von [mm]d\,[/mm] diese Gleichheit. Begründung?
>
> (Ich meine, wenn Du irgendwo siehst:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,,[/mm]
>
> dann sagst Du auch nicht "[mm]f(2):=0\,,[/mm]" sondern Du sagst:
> Nach Definition von
> [mm]f\,[/mm] gilt, weil [mm]2\,[/mm] gerade ist, halt [mm]f(2)=0\,.[/mm] Also: Wie
> sieht die analoge Begründung
> bei Eurer Metrik [mm]d\,[/mm] aus?)
>
> > [mm]\gdw \wurzel{(-1-\bruch{1}{n})^2}+\wurzel{(-1)^2+0^2}[/mm]
> >
> > = [mm]\wurzel{(\bruch{-n-1}{n})^2}[/mm] + 1
> >
> > [mm]\ge \wurzel{(\bruch{-2n}{n})^2}[/mm] + 1
>
> Was machst Du da oben in der letzten Zeile? Du könntest
> einfach [mm]\ge 1+1=2[/mm] schreiben!
> Das, was Du hier machst, ist falsch!
Könnte ich auch. Ich habe mir gedacht, dass [mm] -1\ge-n, [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist. Wieso darf ich so nicht abschätzen ?
>
> > = [mm]\wurzel{(-2)^2}[/mm] + 1
> >
> > = [mm]\wurzel{4}+1[/mm] = 3
>
> Selbst mit der Korrektur: Das zeigt aber nur, dass
> [mm](r_n,s_n) \not\to (-1,0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] bei
> [mm]n \to \infty[/mm] gilt.
>
> Was musst Du genau zeigen, um einzusehen, dass
> [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] divergiert bzgl. [mm]d\,[/mm]?
Dass es ein [mm] \varepsilon>0, [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gibt, sodass [mm] ((r_n,s_n))_n>\varepsilon [/mm] ist.
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich glaube, ich kürze das Ganze mal ein wenig:
> > > = [mm]\wurzel[2]{((-1-\bruch{1}{n}+1))^2}[/mm]
> >
> > Wie wär's wenn Du hier schon [mm]-1+1=0\,[/mm] ausnutzt, anstatt da
> > mit
> > Brüchen weiterzurechnen?
>
> Ehm ja, wäre vll keine schlechte idee gewesen.
ebend. 
> > > = [mm]\wurzel[2]{((\bruch{-n-1}{n}+1))^2}[/mm]
> >
> > Unnötig, wenn Du oben [mm]-1+1=0\,[/mm] benutzt! Außerdem brauchst
> > Du keine
> > zwei Klammernpaare!
> >
> > > = [mm]\wurzel[2]{(-\bruch{1}{n})^2}[/mm]
> > >
> > > = [mm]-\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm]
> >
> > Seit wann ist [mm]\sqrt{a^2}=a[/mm]?? Das stimmt nur für [mm]a \ge 0\,,[/mm]
> > und hier ist
> > [mm]a=a_n=-1/n < 0\,.[/mm] Also: Was gehört da hin:
> > [mm]\sqrt{(-1/n)^2}=... \text{ ?}[/mm]
>
> [mm]\sqrt{(-1/n)^2}=[/mm] 1/n
>
> > > für alle [mm]n\in \IN[/mm]
> >
> > Wo kommt eigentlich das [mm]\varepsilon[/mm] her? Und wenn, dann
> > müßtest Du
> > angeben: Wenn [mm]\varepsilon > 0[/mm] beliebig ist, dann gilt
> für
> > alle [mm]n \ge ...\text{?}[/mm] auch
> > [mm]|1/n| < \varepsilon\,.[/mm]
>
> Für [mm]\varepsilon>0,[/mm] dann gilt für alle
> [mm]n>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
>
> > > Aber es
> >
> > Mit "es" ist die obige Folge [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] des [mm]\IR^2[/mm]
> > gemeint!
> >
> > > konvergiert nicht bezüglich der Metrik d, denn:
> > >
> > > [mm]d((r_n,s_n),(r,s)):=|(r_n,s_n)|+|(r,s)|[/mm]
> >
> > Das ist keine Definition, sondern hier gilt mit [mm]r_n,s_n[/mm] wie
> > oben nach
> > Definition von [mm]d\,[/mm] diese Gleichheit. Begründung?
> >
> > (Ich meine, wenn Du irgendwo siehst:
> >
> > [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}\,,[/mm]
>
> >
> > dann sagst Du auch nicht "[mm]f(2):=0\,,[/mm]" sondern Du sagst:
> > Nach Definition von
> > [mm]f\,[/mm] gilt, weil [mm]2\,[/mm] gerade ist, halt [mm]f(2)=0\,.[/mm] Also: Wie
> > sieht die analoge Begründung
> > bei Eurer Metrik [mm]d\,[/mm] aus?)
> >
> > > [mm]\gdw \wurzel{(-1-\bruch{1}{n})^2}+\wurzel{(-1)^2+0^2}[/mm]
>
> > >
> > > = [mm]\wurzel{(\bruch{-n-1}{n})^2}[/mm] + 1
> > >
> > > [mm]\ge \wurzel{(\bruch{-2n}{n})^2}[/mm] + 1
> >
> > Was machst Du da oben in der letzten Zeile? Du könntest
> > einfach [mm]\ge 1+1=2[/mm] schreiben!
> > Das, was Du hier machst, ist falsch!
>
> Könnte ich auch. Ich habe mir gedacht, dass [mm]-1\ge-n,[/mm] für
> alle [mm]n\in \IN[/mm] ist. Wieso darf ich so nicht abschätzen ?
Na, $-1 [mm] \ge -n\,$ [/mm] gilt auch für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Aber folgt dann auch $1=|-1| [mm] \ge [/mm] |-n|=n$
für alle $n [mm] \in \IN$? [/mm] Um die Falschheit Deiner Abschätzung einzusehen, reicht es zudem,
schonmal speziell [mm] $n=2\,$ [/mm] einzusetzen; dann würdest Du behaupten, dass
[mm] $$\wurzel{(\bruch{-2-1}{2})^2}=\frac{3}{2}=1,5 \ge [/mm] 2$$
gilt (übrigens kannst Du auch einfach [mm] $\sqrt{a^2}=|a|$ [/mm] benutzen!).
Beachte, dass für $a,b < [mm] 0\,$ [/mm] gilt: $a [mm] \le [/mm] b [mm] \iff [/mm] -a [mm] \red{\;\ge\;}-b \iff [/mm] |a| [mm] \ge |b|\,.$
[/mm]
> >
> > > = [mm]\wurzel{(-2)^2}[/mm] + 1
> > >
> > > = [mm]\wurzel{4}+1[/mm] = 3
> >
> > Selbst mit der Korrektur: Das zeigt aber nur, dass
> > [mm](r_n,s_n) \not\to (-1,0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] bei
> > [mm]n \to \infty[/mm] gilt.
> >
> > Was musst Du genau zeigen, um einzusehen, dass
> > [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] divergiert bzgl. [mm]d\,[/mm]?
>
> Dass es ein [mm]\varepsilon>0,[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm] gibt, sodass
> [mm]((r_n,s_n))_n>\varepsilon[/mm] ist.
Nein.
Verneine mal bitte das Folgende, wobei [mm] $(M,d_M)$ [/mm] ein metrischer Raum sei:
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (beachte $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] bei mir) mit Werten in [mm] $M\,$ [/mm] heißt [mm] ($d_M$-)konvergent [/mm]
(in [mm] $M\,$) [/mm] genau dann, wenn gilt:
Es existiert ein [mm] $a_0 \in [/mm] M$ so, dass es für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] gibt mit
[mm] $$d_M(a_n,a_0) [/mm] < [mm] \varepsilon \;\;\;\;\;\;\text{ für alle }n \ge N\,.$$
[/mm]
Verneine also:
[mm] $$\exists a_0 \in M:\;\;\forall \varepsilon [/mm] > [mm] 0\exists N=N(\varepsilon) \in \IN:\;\;\forall [/mm] n [mm] \ge N:\;\;\;\;d_M(a_n,a_0) [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Diese Verneinung beinhaltet das, was [mm] "$(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist divergent" bedeutet!
Was Du gemacht hast, ist zu zeigen:
Für ein spezielles $b [mm] \in [/mm] M$ gilt [mm] $a_n \not\to [/mm] b$ (bzgl. [mm] $d_M$).
[/mm]
Was hast Du aber eigentlich zu zeigen?
Ich meine: Nur weil die Folge [mm] $(x_n)_n:\equiv((-1)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist, die [mm] $x_n \not\to [/mm] -1$
erfüllt, kann ich daraus noch lange nicht schließen, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] dort divergiert.
(Wenn nichts anderes gesagt wird, soll [mm] $\IR$ [/mm] mit der durch die vom Betrage induzierte
Metrik versehen sein!)
Denn die Folge [mm] $(y_n)_n :\equiv (1)_n$ [/mm] erfüllt auch [mm] $y_n \not\to \;-\;1\,,$ [/mm] ist aber wegen [mm] $y_n=1 \to [/mm] 1$ konvergent!
Also: Was ist nun zu zeigen? Wenn Du das verstanden hast, dann weißt Du, worauf
das Folgende hinausgehen soll: Sei [mm] $(r_0,s_0) \in \IR^2$ [/mm] beliebig, und angenommen, es würde
[mm] $(r_n,s_n) \to (r_0,y_0)$ [/mm] bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] gelten...
(Übrigens kannst Du mit ein wenig Geschick hier auch das ausnutzen, was ich in dem verlinkten
Beitrag geschrieben habe. Denn bei Deiner Folge [mm] $((r_n,s_n))_n$ [/mm] reduziert sich doch alles auf die Metrik, die
ich dort betrachtete... und bzgl. dieser kann eine Folge nur genau dann konvergieren, wenn jede
Komponentenfolge eine Nullfolge in [mm] $\IR$ [/mm] ist, oder, weil das äquivalent ist: Wenn sie bzgl. der
durch die euklidische Norm induzierten Metrik eine [mm] $\IR^2$-Nullfolge [/mm] ist (beachte, dass [mm] $(0,0)\,$ [/mm] die Null
des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist)- und zuvor hat Du gerade gezeigt, dass in der "euklidischen Metrik" die Folge sicher
nicht gegen $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert, sondern gegen...? - und man beachte, dass Grenzwerte in metrischen
Räumen ... was sind? (Diese Eigenschaft "verliert" man in halbmetrischen Räumen!))
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Nein.
>
> Verneine mal bitte das Folgende, wobei [mm](M,d_M)[/mm] ein
> metrischer Raum sei:
> Eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] (beachte [mm]0 \notin \IN[/mm] bei
> mir) mit Werten in [mm]M\,[/mm] heißt ([mm]d_M[/mm]-)konvergent
> (in [mm]M\,[/mm]) genau dann, wenn gilt:
> Es existiert ein [mm]a_0 \in M[/mm] so, dass es für jedes
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm] gibt mit
> [mm]d_M(a_n,a_0) < \varepsilon \;\;\;\;\;\;\text{ für alle }n \ge N\,.[/mm]
>
> Verneine also:
> [mm]\exists a_0 \in M:\;\;\forall \varepsilon > 0\exists N=N(\varepsilon) \in \IN:\;\;\forall n \ge N:\;\;\;\;d_M(a_n,a_0) < \varepsilon\,.[/mm]
[mm] \forall a_0\in M:\;\;\exists \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \forall N=N(\varepsilon) \in \IN:\;\;\exists [/mm] n [mm] \ge N:\;\;\;\;d_M(a_n,a_0) [/mm] > [mm] \varepsilon
[/mm]
> Diese Verneinung beinhaltet das, was "[mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] ist
> divergent" bedeutet!
>
> Was Du gemacht hast, ist zu zeigen:
> Für ein spezielles [mm]b \in M[/mm] gilt [mm]a_n \not\to b[/mm] (bzgl.
> [mm]d_M[/mm]).
>
> Was hast Du aber eigentlich zu zeigen?
>
> Ich meine: Nur weil die Folge [mm](x_n)_n:\equiv((-1)^n)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Folge in [mm]\IR[/mm] ist, die [mm]x_n \not\to -1[/mm]
> erfüllt, kann
> ich daraus noch lange nicht schließen, dass [mm](x_n)_n[/mm] dort
> divergiert.
> (Wenn nichts anderes gesagt wird, soll [mm]\IR[/mm] mit der durch
> die vom Betrage induzierte
> Metrik versehen sein!)
>
> Denn die Folge [mm](y_n)_n :\equiv (1)_n[/mm] erfüllt auch [mm]y_n \not\to \;-\;1\,,[/mm]
> ist aber wegen [mm]y_n=1 \to 1[/mm] konvergent!
Ja das leuchtet mir ein.
> Also: Was ist nun zu zeigen? Wenn Du das verstanden hast,
> dann weißt Du, worauf
> das Folgende hinausgehen soll: Sei [mm](r_0,s_0) \in \IR^2[/mm]
> beliebig, und angenommen, es würde
> [mm](r_n,s_n) \to (r_0,y_0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] gelten...
>
> (Übrigens kannst Du mit ein wenig Geschick hier auch das
> ausnutzen, was ich in dem verlinkten
> Beitrag geschrieben habe. Denn bei Deiner Folge
> [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] reduziert sich doch alles auf die Metrik, die
> ich dort betrachtete... und bzgl. dieser kann eine Folge
> nur genau dann konvergieren, wenn jede
> Komponentenfolge eine Nullfolge in [mm]\IR[/mm] ist, oder, weil das
> äquivalent ist: Wenn sie bzgl. der
> durch die euklidische Norm induzierten Metrik eine
> [mm]\IR^2[/mm]-Nullfolge ist (beachte, dass [mm](0,0)\,[/mm] die Null
> des [mm]\IR^2[/mm] ist)- und zuvor hat Du gerade gezeigt, dass in
> der "euklidischen Metrik" die Folge sicher
> nicht gegen [mm](0,0) \in \IR^2[/mm] konvergiert, sondern gegen...?
Sie konvergiert gegen (-1,0)
> - und man beachte, dass Grenzwerte in metrischen
> Räumen ... was sind? (Diese Eigenschaft "verliert" man in
> halbmetrischen Räumen!))
> Gruß,
> Marcel
Kann ich nicht auch einfach zeigen, dass es keine Cauchyfolge ist ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frosch,
> > Nein.
> >
> > Verneine mal bitte das Folgende, wobei [mm](M,d_M)[/mm] ein
> > metrischer Raum sei:
> > Eine Folge [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] (beachte [mm]0 \notin \IN[/mm] bei
> > mir) mit Werten in [mm]M\,[/mm] heißt ([mm]d_M[/mm]-)konvergent
> > (in [mm]M\,[/mm]) genau dann, wenn gilt:
> > Es existiert ein [mm]a_0 \in M[/mm] so, dass es für jedes
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm] gibt mit
> > [mm]d_M(a_n,a_0) < \varepsilon \;\;\;\;\;\;\text{ für alle }n \ge N\,.[/mm]
>
> >
> > Verneine also:
> > [mm]\exists a_0 \in M:\;\;\forall \varepsilon > 0\exists N=N(\varepsilon) \in \IN:\;\;\forall n \ge N:\;\;\;\;d_M(a_n,a_0) < \varepsilon\,.[/mm]
>
> [mm]\forall a_0\in M:\;\;\exists \varepsilon>[/mm] 0
richtig, man beachte dabei, dass [mm] $\varepsilon=\varepsilon(a)$ [/mm] sein darf (irgendwo im Forum wurde,
glaube ich mal, gezeigt, dass das hier tatsächlich äquivalent wäre, wenn man [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] a$
umschreibt zu [mm] $\exists [/mm] a [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0$ - aber erstens bin ich mir da selbst nicht mehr ganz sicher,
und zweitens ist das nicht trivial!
> [mm]\forall N=N(\varepsilon) \in \IN[/mm]
Kupfere bitte nur mit Bedacht ab: Wenn Du [mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \IN$ [/mm] hast, macht das [mm] $N=N(\varepsilon)$ [/mm] da keinen Sinn!
> [mm]:\;\;\exists[/mm] n [mm]\ge N:\;\;\;\;d_M(a_n,a_0)[/mm] > [mm]\varepsilon[/mm]
Strenggenommen ist [mm] $\neg(n \le [/mm] N)$ doch $n > [mm] N\,,$ [/mm] nicht $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Aber das ist hier tatsächlich
egal, weil das eine äquivalente Formulierung "der Divergenz einer Folge" ist!
> > Diese Verneinung beinhaltet das, was "[mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] ist
> > divergent" bedeutet!
> >
> > Was Du gemacht hast, ist zu zeigen:
> > Für ein spezielles [mm]b \in M[/mm] gilt [mm]a_n \not\to b[/mm] (bzgl.
> > [mm]d_M[/mm]).
> >
> > Was hast Du aber eigentlich zu zeigen?
> >
> > Ich meine: Nur weil die Folge [mm](x_n)_n:\equiv((-1)^n)_{n \in \IN}[/mm]
> > eine Folge in [mm]\IR[/mm] ist, die [mm]x_n \not\to -1[/mm]
> > erfüllt,
> kann
> > ich daraus noch lange nicht schließen, dass [mm](x_n)_n[/mm] dort
> > divergiert.
> > (Wenn nichts anderes gesagt wird, soll [mm]\IR[/mm] mit der durch
> > die vom Betrage induzierte
> > Metrik versehen sein!)
> >
> > Denn die Folge [mm](y_n)_n :\equiv (1)_n[/mm] erfüllt auch [mm]y_n \not\to \;-\;1\,,[/mm]
> > ist aber wegen [mm]y_n=1 \to 1[/mm] konvergent!
>
> Ja das leuchtet mir ein.
>
> > Also: Was ist nun zu zeigen? Wenn Du das verstanden hast,
> > dann weißt Du, worauf
> > das Folgende hinausgehen soll: Sei [mm](r_0,s_0) \in \IR^2[/mm]
> > beliebig, und angenommen, es würde
> > [mm](r_n,s_n) \to (r_0,y_0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] gelten...
> >
> > (Übrigens kannst Du mit ein wenig Geschick hier auch das
> > ausnutzen, was ich in dem verlinkten
> > Beitrag geschrieben habe. Denn bei Deiner Folge
> > [mm]((r_n,s_n))_n[/mm] reduziert sich doch alles auf die Metrik, die
> > ich dort betrachtete... und bzgl. dieser kann eine Folge
> > nur genau dann konvergieren, wenn jede
> > Komponentenfolge eine Nullfolge in [mm]\IR[/mm] ist, oder, weil das
> > äquivalent ist: Wenn sie bzgl. der
> > durch die euklidische Norm induzierten Metrik eine
> > [mm]\IR^2[/mm]-Nullfolge ist (beachte, dass [mm](0,0)\,[/mm] die Null
> > des [mm]\IR^2[/mm] ist)- und zuvor hat Du gerade gezeigt, dass
> in
> > der "euklidischen Metrik" die Folge sicher
> > nicht gegen [mm](0,0) \in \IR^2[/mm] konvergiert, sondern gegen...?
>
> Sie konvergiert gegen (-1,0)
>
> > - und man beachte, dass Grenzwerte in metrischen
> > Räumen ... was sind? (Diese Eigenschaft "verliert" man in
> > halbmetrischen Räumen!))
Und Grenzwerte in metrischen Räumen sind eindeutig!
>
>
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Kann ich nicht auch einfach zeigen, dass es keine
> Cauchyfolge ist ?
Du kannst es versuchen, ich weiß nicht, ob das funktioniert (denn i.a. sind
zwar konvergente Folgen stets Cauchy-, aber Cauchyfolgen nicht immer
konvergent!). Ich bin auch zu faul, da überhaupt drüber nachzudenken, denn:
Was spricht denn gegen obiges???
Gäbe es ein [mm] $(r_0,s_0) \in \IR^2$ [/mm] so, dass [mm] $(r_n,s_n) \to (r_0,s_0)$ [/mm] gelten würde (mit Deinen [mm] $r_n=-1-1/n$ [/mm] und [mm] $s_n=0$ [/mm]
war das, glaube ich) bzgl. [mm] $d\,,$ [/mm] so folgte
[mm] $$d((r_n,s_n),\;(r_0,s_0))=\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}+\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0\;\;\;(\text{ in }\IR!)$$
[/mm]
Damit muss sowohl [mm] $\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \to [/mm] 0$ als auch [mm] $\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to [/mm] 0$
gelten (warum?) - dies impliziert unbedingt schonmal [mm] $r_0=s_0=0\,.$ [/mm] (Daher könnte
bestenfalls [mm] $(r_n,s_n) \to [/mm] (0,0)$ bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] gelten - wann und wo habe ich das schonmal wie
mit anderen Worten ausgedrückt??)
Aber gilt denn überhaupt [mm] $\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}=\sqrt{(-1-\tfrac{1}{n})^2+0^2} \to [/mm] 0$???
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Gäbe es ein [mm](r_0,s_0) \in \IR^2[/mm] so, dass [mm](r_n,s_n) \to (r_0,s_0)[/mm]
> gelten würde (mit Deinen [mm]r_n=-1-1/n[/mm] und [mm]s_n=0[/mm]
> war das, glaube ich) bzgl. [mm]d\,,[/mm] so folgte
>
> [mm]d((r_n,s_n),\;(r_0,s_0))=\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}+\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0\;\;\;(\text{ in }\IR!)[/mm]
> Damit muss sowohl [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \to 0[/mm] als auch
> [mm]\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0[/mm] gelten (warum?)
Weil offensichtlich [mm] \sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \ge [/mm] 0 und [mm] \sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \ge [/mm] 0. Würde beides konvergieren mit [mm] \sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to [/mm] 0, dann würde nach den Grenzwertsätzen eben folgen, dass $ [mm] \sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \to [/mm] 0 $ sowohl als auch $ [mm] \sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to [/mm] 0 $ gelten muss
> - dies
> impliziert unbedingt schonmal [mm]r_0=s_0=0\,.[/mm] (Daher könnte
> bestenfalls [mm](r_n,s_n) \to (0,0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] gelten - wann und
> wo habe ich das schonmal wie
> mit anderen Worten ausgedrückt??)
Einen post zuvor.
> Aber gilt denn überhaupt
> [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}=\sqrt{(-1-\tfrac{1}{n})^2+0^2} \to 0[/mm]???
Nein es gilt [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}=\sqrt{(-1-\tfrac{1}{n})^2+0^2} \to 1[/mm], also ist die folge bezüglich d nicht konvergent sondern divergent.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Gäbe es ein [mm](r_0,s_0) \in \IR^2[/mm] so, dass [mm](r_n,s_n) \to (r_0,s_0)[/mm]
> > gelten würde (mit Deinen [mm]r_n=-1-1/n[/mm] und [mm]s_n=0[/mm]
> > war das, glaube ich) bzgl. [mm]d\,,[/mm] so folgte
> >
> >
> [mm]d((r_n,s_n),\;(r_0,s_0))=\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}+\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0\;\;\;(\text{ in }\IR!)[/mm]
>
>
> > Damit muss sowohl [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \to 0[/mm] als auch
> > [mm]\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0[/mm] gelten (warum?)
>
> Weil offensichtlich [mm]\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \ge[/mm] 0 und
> [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \ge[/mm] 0. Würde beides konvergieren
> mit [mm]\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to[/mm] 0, dann würde nach den
> Grenzwertsätzen eben folgen, dass [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2} \to 0[/mm]
> sowohl als auch [mm]\sqrt{{r_0}^2+{s_0}^2} \to 0[/mm] gelten muss
ja gut, aber wenn Du so argumentierst, sagst Du ja nur - i.W.:
Aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ und [mm] $b_n \to [/mm] 0$ folgt [mm] $a_n+b_n \to 0\,.$
[/mm]
Hier willst Du aber begründen: Wenn [mm] $a_n+b_n \to 0\,,$ [/mm] so kann es nur sein,
dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ und [mm] $b_n \to 0\,.$ [/mm] (Im Allgemeinen gilt das ja NICHT! Hier
gilt das etwa, wenn stets [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $b_n \ge [/mm] 0$.)
Achte also bitte bei Argumentationen, dass Du "in die richtige Richtung" folgerst.
Du denkst das schon richtig, aber irgendwann verdrehst Du Dich ein wenig
innerhalb der Argumentation, Du müsstest irgendwo schreiben:
"Wenn [mm] $(r_0,s_0) \to (r_0,s_0) \not=(0,0)\,,$ [/mm] dann wäre aber ... Dies kann also nicht sein."
(Allgemein: Ist stets [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ und [mm] $b_n \ge [/mm] 0$ und gilt [mm] $a_n+b_n \to 0\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $a_n \to [/mm] 0$ und [mm] $b_n \to 0\,.$ [/mm] Denn angenommen, [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$:
Dann gibt es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] existiert mit
[mm] $a_{n_k} \ge \epsilon_0$ [/mm] für alle [mm] $k\,.$ [/mm] Daraus folgt... - bekommst Du das zu Ende gedacht?)
>
> > - dies
> > impliziert unbedingt schonmal [mm]r_0=s_0=0\,.[/mm] (Daher könnte
> > bestenfalls [mm](r_n,s_n) \to (0,0)[/mm] bzgl. [mm]d\,[/mm] gelten - wann und
> > wo habe ich das schonmal wie
> > mit anderen Worten ausgedrückt??)
>
> Einen post zuvor.
>
> > Aber gilt denn überhaupt
> > [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}=\sqrt{(-1-\tfrac{1}{n})^2+0^2} \to 0[/mm]???
>
> Nein es gilt
> [mm]\sqrt{{r_n}^2+{s_n}^2}=\sqrt{(-1-\tfrac{1}{n})^2+0^2} \to 1[/mm],
> also ist die folge bezüglich d nicht konvergent sondern
> divergent.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Warum eigentlich? Also: Warum gilt [mm] $\sqrt{(-1\;-\;1/n)^2} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Hast Du ein - möglich einfaches - Argument dafür?)
Gruß,
Marcel
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Hiho,
> Ich kann mir noch nicht so recht vorstellen, wie überhaupt eine Folge im [mm]\IR^2[/mm] aussieht.
Das geht im [mm] \IR^2 [/mm] noch relativ leicht. Eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] sind einfach unendliche viele Punkte in der x-y-Ebene.
> Mein zweites problem ist, dass d sich nur bei |x|+|y| von der euklidischen Metrik unterscheidet. Da aber gilt |x-y| [mm]\le[/mm] |x|+|y| sollte doch im falle einer konvergenz für |x|+|y| auch die konvergenz in der euklidischen metrik gegeben sein oder nicht ?
Das stimmt, die Umkehrung gilt aber nicht!
Du hast also deinen Ansatzpunkt gefunden um eine gewünschte Folge zu konstruieren
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Gono,
> Hiho,
>
> > Ich kann mir noch nicht so recht vorstellen, wie überhaupt
> eine Folge im [mm]\IR^2[/mm] aussieht.
>
> Das geht im [mm]\IR^2[/mm] noch relativ leicht. Eine Folge im [mm]\IR^2[/mm]
> sind einfach unendliche viele Punkte in der x-y-Ebene.
man sollte besser "abzählbar" unendlich viele sagen, um etwas genauer
zu sein.
Nebenbei (und das ist keine Kritik an Dir): Genauer steht das auch
in der Antwort, auf die ich verlinkt habe. Denn dort war auch diese
Frage genauso aufgekommen, wie sie hier steht (wobei ich dazu
sage, dass ich das hier eben selbst überlesen hatte).
Gruß,
Marcel
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