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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Ich hab mal zwei kurze Fragen, und zwar soll ich als erstes die abgeschlossene Hülle folgender Menge [mm] D:=\IQ [/mm] = [mm] \{ x \in \IR: x rational \} [/mm] bestimmen, nur leider weiß ich nicht, was eine abgeschlossene Hülle ist. Wir haben in der Vorlesung nämlich lediglich "abgeschlossen" definiert. Könnt ihr mir helfen?
Ach ja, und zweitens soll ich für eine Menge M [mm] \not= \emptyset [/mm] in einem metrischen Raum (X,d) die folgende Äquivalenz bestätigen:
diam M:=sup d(x,y) < [mm] \infty \gdw [/mm] es existiert [mm] x_{0} \in [/mm] X es existiert [mm] \delta [/mm] > 0:M [mm] \subseteq K_{\delta } [x_{0} [/mm] ] (x,y [mm] \in [/mm] M)
Was soll denn dieses diam bedeuten? Ich verstehe den hinteren Teil der Definition nicht ganz. Was soll das bedeuten?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mi 14.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
1. Abgeschlossene Hülle: Du nimmst zu der nicht abg. Menge die punkte dazu, sodass sie abg. ist. Die abg. Hülle einer abg. Menge ist deshalb sie selbst.
2. was diam bedeutet ist eigentlich egal, denn diam M wird ja definiert!
aber es kommt von diameter= Durchmesser.
und die Beh. sagt, dass wenn diam [mm] M>\infty [/mm] ist , dann gibt es ein x0 aus M, sodass M in einem [mm] \delta [/mm] Kreis um x0 liegt, und umgekehrt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Danke dir. Ich glaub, jetzt hab ich's gecheckt. Mal sehen, ob ich das jetzt auf meine Beweise anwenden kann.
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Do 15.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Also ist doch eine abgeschlossene Menge im Prinzip die Vereinigung einer offenen Menge und deren Komplement, der abgeschlossenen Menge, oder?
Heißt das zum Beispiel, [mm] \IR [/mm] ist die abgeschlossene Hülle von [mm] \IQ?
[/mm]
liebe Grüße
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Hallo.
> Also ist doch eine abgeschlossene Menge im Prinzip die
> Vereinigung einer offenen Menge und deren Komplement, der
> abgeschlossenen Menge, oder?
Nein, das kann man so nicht sagen.
Vielleicht hilft folgende, fast geometrische Definition weiter:
Es sei für eine Teilmenge $M$ eines topologischen Raumes [mm] $\Omega$
[/mm]
[mm] $\partial M:=\bar M\setminus \mathring [/mm] M$ der Rand von $M_$ in [mm] $\Omega$, [/mm] wobei [mm] $\mathring [/mm] M$ das Innere und [mm] $\bar [/mm] M$ der Abschluß von $M_$ ist.
Stell dir doch einfach mal eine Kreisscheibe im [mm] $\IR^2$ [/mm] vor, sagen wir [mm] $K:=\{(x,y)\in\IR^2 \ | \ x^2+y^2<1 \ \mbox{oder} x^2+y^2\le 1 \ \mbox{falls} x>0\}$.
[/mm]
$K_$ ist, wie gesagt, eine Kreisscheibe, aber weder offen noch abgeschlossen, denn "nach links" ist $K_$ offen und "nach rechts" abgeschlossen.
Trotzdem ist klar, was das Innere (vielleicht habt ihr es auch den "offenen Kern" von $K_$ genannt) ist; nämlich gerade die "komplett offene" Kreisscheibe
[mm] $\mathring K=\{(x,y)\in\IR^2 \ | \ x^2+y^2<1 \}$.
[/mm]
Der Abschluß (=abgeschlossene Hülle) von $K_$ ist aber nun gerade
[mm] $\bar K=\{(x,y)\in\IR^2 \ | \ x^2+y^2\le 1 \}$, [/mm] und nicht etwa das Komplement von $K_$.
Es ist damit der Rand von $K_$:
[mm] $\partial K=\bar K\setminus \mathring K=\{(x,y)\in\IR^2 \ | \ x^2+y^2=1 \}$, [/mm] also gerade der Einheitskreis, ganz so, wie man sich das geometrisch vorstellen würde...
> Heißt das zum Beispiel, [mm]\IR[/mm] ist die abgeschlossene Hülle
> von [mm]\IQ?[/mm]
Diese Aussage stimmt, allerdings mit anderer Begründung, nämlich daß ich jeder Zahl in [mm] $\IR$ [/mm] mit einer Zahl in [mm] $\IQ$ [/mm] beliebig nahe kommen kann.
Diese Eigenschaft nennt man auch "dicht", [mm] $\IQ$ [/mm] ist also dicht in [mm] $\IR$.
[/mm]
Allgemein kann man zeigen, daß gilt:
$A_$ dicht in $B [mm] \gdw B=\bar [/mm] A$.
Sollte das alles nicht so ganz klar geworden sein, kannst Du gerne nochmal nachfragen 
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 15.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Hey, ich danke dir für dieses anschauliche Beispiel. Mir ist jetzt eindeutig klar geworden, was abgeschlossene Hülle bedeutet.
Danke nochmal für deine Hilfe
liebe Grüße
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