Metrik für SO(d) < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 16.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
vermutlich ist dies eine sehr einfache Frage, aber lässt sich für die spezielle orthogonale Gruppe $SO(n)$ eine Metrik definieren? Und wie sieht diese aus? Etwa über die euklidische Norm (Spektralnorm)
[mm] $d_{SO(d)}(R_1,R_2)=\left\|R_1\cdot R_2\right\|_2$
[/mm]
oder über die $d-1$ Winkel der Rotationsmatrizen [mm] $R_1,R_2$? [/mm]
Danke
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> Hallo an alle,
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> vermutlich ist dies eine sehr einfache Frage, aber lässt
> sich für die spezielle orthogonale Gruppe [mm]SO(n)[/mm] eine
> Metrik definieren? Und wie sieht diese aus? Etwa über die
> euklidische Norm (Spektralnorm)
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> [mm]d_{SO(d)}(R_1,R_2)=\left\|R_1\cdot R_2\right\|_2[/mm]
>
> oder über die [mm]d-1[/mm] Winkel der Rotationsmatrizen [mm]R_1,R_2[/mm]?
>
> Danke
Hallo Denny,
ich habe mich zwar seit langer Zeit nicht mehr mit solchen
Dingen befasst, aber ich würde mal sagen, dass man für SO(d)
Metriken definieren kann, und zwar nicht nur eine.
Darunter ist die triviale Metrik, aber die ist ja nicht
sonderlich hilfreich.
Allgemein kann man [mm] d(R_1,R_2):=d(E,R_1*R_2^{-1}) [/mm] setzen.
Dann sollten wir d(E,R) sinnvoll festlegen (wobei E für die
identische Abbildung bzw. für die Einheitsmatrix steht).
Für d=2 und d=3 kann man jeweils einfach den (kleinstmöglichen)
Drehwinkel heranziehen, um eine Metrik zu definieren:
[mm] d(E,R):=\alpha [/mm] , wobei [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha\ge0 [/mm] der kleinste Drehwinkel von R ist.
(Drehung um O(0|0) für d=2 , Drehung um eine durch O(0|0|0)
gehende Achse für d=3).
Ab d=4 wird es naturgemäß etwas unübersichtlicher.
Nun kann man aber jede Matrix [mm] R\in [/mm] SO(d) mittels der
Matrix-Exponentialfunktion schreiben als
$\ R\ =\ [mm] e^L$
[/mm]
wobei L eine schiefsymmetrische Matrix ist. Und nun kann
man wohl durch [mm] d(E,R):=\|L\| [/mm] , wobei [mm] \|\,.\,\| [/mm] eine geeignete
Matrixnorm ist, eine Metrik in SO(d) einführen.
(damit sind wir schon fast beim Thema Lie-Algebra gelandet)
In der Hoffnung, dass noch jemand, der sich im Thema
besser auskennt, etwas beisteuert, lasse ich die Frage
mal auf "teilweise beantwortet".
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 So 19.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> vermutlich ist dies eine sehr einfache Frage, aber lässt
> sich für die spezielle orthogonale Gruppe [mm]SO(n)[/mm] eine
> Metrik definieren? Und wie sieht diese aus? Etwa über die
> euklidische Norm (Spektralnorm)
Diese Gruppe ist gemeinhin eine Liegruppe - die Gruppenmultipilkation ist ein Diffeomorphismus. Nun ist eine Metrik in diesem Kontext erstmsal ein glatt variierendes Skalarprodukt auf dieser Manigfaltigkeit. Such am Besten in diese Richtung. Vor allem will man auch das dieses invariant ist unter Links- und Rechtsmultiplikation mit Elementen aus dieser Gruppe. Fuer kompakte Liegruppen geht das immer.
Der Tangentialraum an E sind die schiesymmetrischen Matrizen. Eine natuerliche, bi-invariante Metrik ist die Spuer, also [m]:=trace(AB^t)[/m].
Zu das, was man normalerweise als Metrik versteht, kommt man dann mittels Pfadmetrik - also das Infimum der Laengen der Pfade zwischen zwei Punkten.
Am Besten ein Buch ueber Liegruppen schnappen, in dem O(n), sO(n) behandelt werden. Ich kenne da leider keines.
SEcki
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> > vermutlich ist dies eine sehr einfache Frage, aber lässt
> > sich für die spezielle orthogonale Gruppe [mm]SO(n)[/mm] eine
> > Metrik definieren? Und wie sieht diese aus? Etwa über die
> > euklidische Norm (Spektralnorm)
>
> Diese Gruppe ist gemeinhin eine Liegruppe - die
> Gruppenmultipilkation ist ein Diffeomorphismus. Nun ist
> eine Metrik in diesem Kontext erstmsal ein glatt
> variierendes Skalarprodukt auf dieser Manigfaltigkeit. Such
> am Besten in diese Richtung. Vor allem will man auch das
> dieses invariant ist unter Links- und Rechtsmultiplikation
> mit Elementen aus dieser Gruppe. Fuer kompakte Liegruppen
> geht das immer.
>
> Der Tangentialraum an E sind die schiesymmetrischen
> Matrizen. Eine natuerliche, bi-invariante Metrik ist die
> Spuer, also [m]:=trace(AB^t)[/m].
>
> Zu das, was man normalerweise als Metrik versteht, kommt
> man dann mittels Pfadmetrik - also das Infimum der Laengen
> der Pfade zwischen zwei Punkten.
>
> Am Besten ein Buch ueber Liegruppen schnappen, in dem O(n),
> sO(n) behandelt werden. Ich kenne da leider keines.
>
> SEcki
Hallo SEcki,
ich bin froh, dass sich zu dieser Frage jetzt doch noch
jemand gemeldet hat, dem das Thema nicht fremd ist.
Ich vermute, dass die "Pfadmetrik" der Liegruppe
nichts anderes ist als die Metrik, die ich ohne die
Terminologie der Liegruppe (mit Tangentialraum)
beschrieben habe (obwohl ich den Begriff Lie-Algebra
auch genannt habe) beschrieben habe. Kannst du
das bestätigen ?
Ich habe jedenfalls festgestellt, dass meine Idee
in SO(2) und SO(3) ganz gut funktioniert und jeweils
als Maß einer Drehmatrix R den Drehwinkel liefert.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
Okay, danke ihr beiden. Dann werde ich mal in ein Buch über Lie-Gruppen nachsehen. Danke nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mi 22.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Ich vermute, dass die "Pfadmetrik" der Liegruppe
> nichts anderes ist als die Metrik, die ich ohne die
> Terminologie der Liegruppe (mit Tangentialraum)
> beschrieben habe (obwohl ich den Begriff Lie-Algebra
> auch genannt habe) beschrieben habe. Kannst du
> das bestätigen ?
Ja.
Zur Erklaerung was hier passiert (ganz, ganz grob): die Metrik, die durch die Einbettung als Untermanigfaltigkeit gegeben ist, erhaelt man eine bi-invariante Metrik. Nun ist fuer Rimenn. Mgf. der Abstand zwischen "in der Naehe" liegende Punkte eindeutig durch Geodaeten bestimmt. Diese Geodaeten wiederum koennen in einer Umgebung eines Punktes p durch eine Exponentialabbildung vom Tangentialraums von p in die Mgf. dargestellt werden - und diese Expontentialabbildung ist in unserem Fall tatsaechlich die bekannte Reihendarstellung. Wenn man sich diese Reihendarstellung anschaut und fuer [m]n=2,3[/m] die Basis von den schiefsymmetr. Matrizen einsetzt kommt genau der Drehwinkelheraus. Fuer hoehere Dimensionen geht das dann offenbar nicht mehr.
> Ich habe jedenfalls festgestellt, dass meine Idee
> in SO(2) und SO(3) ganz gut funktioniert und jeweils
> als Maß einer Drehmatrix R den Drehwinkel liefert.
Abstand zu E ;) Aber ansonsten: ja, wenn mich nicht alles taeuscht kommt genau das als Abstand heraus, wenn man vom theoretischen / abstrakten Aufbau herkommt.
Fun facts nebenbei: SO(2) ist (als Liegruppe) nichts anderes als [m]S^1[/m] - Drehungen ist nun mal die Multiplikation mit Elementen aus [m]\IC[/m]. SO(3) ist diffeomorph zu [m]\IRP^3[/m] - Bestimmung einer Drehachse + Drehwinkel.
SEcki
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