Metrik durch norm induziert? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mi 06.05.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Metrik [mm] d_{2} [/mm] auf [mm] \IR^{n}. [/mm] Man betrachte die Metrik
d(x,y) [mm] =\bruch{d_{2}(x,y)}{1+d_{2}(x,y).}
[/mm]
Ist diese Metrik von einer Norm induziert? |
gegeben ist: [mm] d_{2}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n} |x_{i}-y_{i}|^{2}}
[/mm]
Als Verweis dazu was mit dem induzieren gemeint ist,wurde gegeben: ISt V ein linearer Raum , [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] eine Norm auf V, so wird durch
d(x,y) = [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm]
eine Metrik auf V x V definiert.
Ich weiss irgendiwe gar nicht wie ich diese Frage beantworten soll. Ich habe in meiner Aufgabenstellung ja gar keine Norm gegeben,wie soll ich denn eine solche finden? Das einzige was ich zu normen weiss sind die 3 Axiome die eine Norm erfüllt, aber das bedeutet ja wiederum dass es sehr viele normen gibt. und wie schau ich dann ob die norm meine metrik induziert?
Danke für jede Anrgreung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 06.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Probier es doch mal so: Angenommen, d wäre von einer Norm [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] induziert, dann wäre ja für jedes [mm] $\lambda\in\IR$ $d(\lambda x,0)=\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|=|\lambda|d(x,0)$. [/mm] Kann denn das sein? d ist beschränkt!
Gruß, Robert
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