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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 29.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Eine Frage an die Wissenden:
eine Metrik ist definiert als:
[mm] M\Rightarrow(M,d)
[/mm]
d: MxM [mm] \to \IR+ [/mm]
1) d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
2) d(x,y)=d(y,x)
3) [mm] d(x,y)\led [/mm] d(x,a)+d(a,y)
Kann man Aussagen machen, ob durch eine Abbildung (Funktion) diese Eigenschaften in den Bildraum übertragen werden?
Oft gibt es so Fragen wie "wird durch diese Abbildung eine Metrik induziert" oÄ. Das läuft dann auf das Überprüfen der drei Eigenschaften heraus.
Bsp: wird durch die Betragsfunktion eine Metrik definiert:
1) d(x,y)=|x-y|
2) d(y,x)=|y-x|
3) [mm] d(x,y)\led [/mm] |x-a|+|a-y|
Allerdings gibt es dann so abenteuerliche Fragen wie:
zeige, dass mit der auf Z definierten Metrik d(m,n)=|m-n| ein metrischer Raum entsteht, in dem jede Teilmenge sowohl offen, als auch abgeschlossen ist.
Mein Versuch:
a) ich gebe einen Abstand von etwa [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] vor, dann ist jede Epsilonumgebung um einen Punkt leer (die leere Menge ist offen).
b) hier hänge ich ein wenig... Die Abgeschlossenheit lässt sich glaube ich am besten durch die Häufungspunkte definieren. dann müsste es eine Folge geben, die gegen den Häfungspunkt konvergiert. Aber da weiß ich nicht, wie die Folge aussehen soll?
für jede Hilfe wie immer dankbar mit herzlichen Grüßen
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
oder noch so ein Beispiel:
ist furch f(x)= arctan(x) und der Abstandsfunktion d(x,y)=|f(x)-f(y)| eine Metrik definiert...
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> oder noch so ein Beispiel:
>
> ist furch f(x)= arctan(x) und der Abstandsfunktion
> d(x,y)=|f(x)-f(y)| eine Metrik definiert...
Na hier kannst du natürlich Bekanntes nutzen:
Symmetrie: Klar, da |.|
Dreiecksungl: Klar, da |.|
Nur für die erste Eigenschaft brauchst du die Injektivität von arctan 
MfG,
Gono.
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Hallo Chris,
> eine Metrik ist definiert als:
>
>
> [mm]M\Rightarrow(M,d)[/mm]
> d: MxM [mm]\to \IR+[/mm]
>
>
> 1) d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y
> 2) d(x,y)=d(y,x)
> 3) [mm]d(x,y)\led[/mm] d(x,a)+d(a,y)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann man Aussagen machen, ob durch eine Abbildung
> (Funktion) diese Eigenschaften in den Bildraum übertragen
> werden?
Als allererstes sollte hier erstmal klar werde, was du mit "diese Eigenschaften in den Bildraum übertragen" wirklich meinst. Mir fallen da spontan mehrere Möglichkeiten ein, von:
von [mm]d(x,y) = d(f(x),f(y))[/mm]
über:
Metrik definiert durch: [mm]d(f^{-1}(x),f^{-1}(y))[/mm] für [mm]x,y \in im(f)[/mm]
Oder einfach nur: [mm]d(x,y) \not= 0 \Longrightarrow d(f(x),f(y)) \not= 0[/mm]
Allgemein kann man sicherlich sagen, dass die Aussagen, die man darüber treffen kann, sehr stark von f und d abhängig sind.
So ist bei [mm]f: \IR^n \rightarrow \IR^m[/mm] beispielsweise gar nicht klar, ob [mm]d_n(f(x),f(y))[/mm] überhaupt definiert ist.
Andersherum kann man die diskrete Metrik betrachten, dann reicht schon die Injektivität einer Funktion, damit ich viele Eigenschaften mitnehme.
> Oft gibt es so Fragen wie "wird durch diese Abbildung eine
> Metrik induziert" oÄ. Das läuft dann auf das Überprüfen der
> drei Eigenschaften heraus.
Genau, oft wird dir auch nichts anderes übrigbleiben, als Stur die Definition zu überprüfen. Manchmal kann man sich die Arbeit vielleicht erleichtern, aber das "Rezept" ist und bleibt nunmal das Runterbeten der drei Eigenschaften.
> Bsp: wird durch die Betragsfunktion eine Metrik definiert:
>
> 1) d(x,y)=|x-y|
> 2) d(y,x)=|y-x|
> 3) [mm]d(x,y)\led[/mm] |x-a|+|a-y|
> Allerdings gibt es dann so abenteuerliche Fragen wie:
So abenteuerlich ist die Frage gar nicht 
> zeige, dass mit der auf Z definierten Metrik d(m,n)=|m-n|
> ein metrischer Raum entsteht, in dem jede Teilmenge sowohl
> offen, als auch abgeschlossen ist.
> Mein Versuch:
> a) ich gebe einen Abstand von etwa [mm]\varepsilon=1/2[/mm] vor,
> dann ist jede Epsilonumgebung um einen Punkt leer (die
> leere Menge ist offen).
Ich vermute mal du meinst das richtige, allerdings ist deine Begründung ein wenig wirr. Die Epsilonumgebung um jeden Punkt ist nicht leer, sie enthält ja den Punkt selbst
Aber sonst enthält sie keine Punkte, d.h. für jeden Punkt findest du so ein [mm] \varepsilon, [/mm] so dass alle Punkte in der Umgebung ein Element von Z sind.
Und genau das ist die Definition einer offenen Menge.
Aber Vorsicht: [mm] \IZ [/mm] ist NUR offen in [mm] \IZ [/mm] und NICHT in [mm] \IR! [/mm] (Warum deine Begründung dann nicht klappt, sollte klar sein).
> b) hier hänge ich ein wenig... Die Abgeschlossenheit lässt
> sich glaube ich am besten durch die Häufungspunkte
> definieren. dann müsste es eine Folge geben, die gegen den
> Häfungspunkt konvergiert. Aber da weiß ich nicht, wie die
> Folge aussehen soll?
Es gbt eine Definition über die Häufungspunkte, aber ob das hier wirklich das "beste" ist, glaube ich nicht.
Ich nutze ganz gerne die Äquivalenz
[mm]A \text{ abgeschlossen } \gdw A^c \text{ offen }[/mm]
Was ist denn hier [mm] A^c [/mm] ?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Hi!
herzlichen Dank für deine Erklärung und präzisen Korrektur!
leider weiß ich nicht so recht, wie ich mit der von dir genannten Definition arbeiten soll.
Wenn ich eine Teilmenge O aus Z entnehme, ist dann [mm] Z\O [/mm] das Komplement?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Fr 30.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein.
Das Komplement ist Z ohne O, also die Menge aller z in Z, die nicht in O liegen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ja, also [mm] Z\O, [/mm] oder?
so hab ich das halt gemeint ;)
kann ich dann sagen, dass [mm] Z\O [/mm] ja auch offen ist und somit das Komplement abgeschlossen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Fr 30.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Das Komplement von O ist Z ohne O, also die Menge aller z in Z, die nicht in O liegen .
So ist der Begriff "Komplement" nun mal definiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Ach, jetzt sehe ich es erst!
der Interpreter hat scheinbar das "\ O" einfach geschluckt. Ist vermutlich im Latex hängen geblieben!
ich hoffe so geht es: "Z \ O" ;)
Kann mir jemand zeigen wie ich das ausformuliere?
lg
Chris
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Naja.... so schwer ist das nicht.
[mm]\IZ \text{ abgeschlossen } <=> \IZ^c \text{ offen }[/mm]
Was ist denn [mm] \IZ^c [/mm] ?
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Fr 30.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
habe die Definition jetzt auch im Walter angefunden! Danke vielmals! :)
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Kann man Aussagen machen, ob durch eine Abbildung
> (Funktion) diese Eigenschaften in den Bildraum übertragen
> werden?
Unter einer Metrik kannst Du Dir etwa eine Abstands funktion mit gewissen Funktionseigenschaften (Metrikeigenschaften) vorstellen. Und deine Frage lautet nun ob sich die Metrikeigenschaften von $d$ auf $M$ auf den (im üblichen reellen) Bildraum [mm] $\IR$ [/mm] überträgt?! Formuliere Deine Frage bitte etwas präziser.
Gruß
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