Metrik Raum, < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | a) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
i) [mm] \emptyset, [/mm] X sind offen in X.
ii) Sind [mm] U_1, \cdots , U_r \subset X [/mm] offen, dann ist auch [mm] U_1 \cap , \cdots , \cap U_r \subset X [/mm] offen.
iii) Ist [mm] (Ui)_{i \in I} [/mm] eine Familie offener Mengen in X, dann ist auch [mm] \bigcup_{i=I} U_i \subset X [/mm] offen.
Gilt ii) auch für den beliebige Durchschnitte [mm] \bigcap_{i=I} U_i [/mm] offener Mengen? (Beweis oder Gegenbeispiel).
b) Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei [mm] \emptyset \not= A \subset X[/mm]. Zeigen Sie:
i) [mm] \partial A \subset X[/mm] ist abgeschlossen.
ii) [mm] \overline{A} = A \sup \partial A [/mm]
iii) [mm] \overline{A} \ \partial A \subset X ist offen. [/mm] |
Hier bin ich vollkommen ratlos. Ich weiß wenn, (X, d) ein metrischer Raum ist und [mm] \emptyset \not= A \subset X [/mm]. Dann heißt: [mm] \partial A = { x \in X ; \forall \epsilon > 0: U_\epsilon (X) \cap A \not= \emptyset = \emptyset U_\epsilon (x) \cap (X \ A)} [/mm] der Rand von A.
Für die die a) muss ich doch für ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein Element in X finden, so dass es ein Element in [mm] R^{n} [/mm] gibt, dessen Abstand kleiner ist, als der des Elementes aus X. Dann ist eine Menge offen. Bei der leeren Menge gibt es aber kein Element, ist somit jedes Element dichter an ein [mm] \epsilon [/mm] dran? Wie schon gesagt, allein die erste Aufgabenstellung verwirrt mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Qight,
Ich würde eine Teilmenge von $X$ als offen bezeichnen, wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind. Es gilt:
[mm] x_0 [/mm] heißt innerer Punkt einer Menge [mm] $A\subseteq [/mm] X$, wenn eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] existiert mit [mm] $x_0\in U\subseteq [/mm] A$.
Ferner: A heißt offen, wenn $int(A)=A$.
Insbesondere heißt [mm] $x_0 \in [/mm] A$ innerer Punkt von A, wenn eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung [mm] U_\epsilon(x) [/mm] für [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert, die ganz in A liegt.
Die leere Menge ist trivialer Weise offen und abgeschlossen, da sie kein Element ethält. Wenn du nun für alle [mm] x\in\emptyset [/mm] irgendetwas zeigen sollst, ist das natürlich stets wahr, da ja kein [mm] x\in\emptyset [/mm] existiert.
Ebenso trivial lässt sich X offen begründen.
Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ist z.B. [mm] $U_1(x)\subseteq [/mm] X$. Mach dir das an der Definition von [mm] U_\epsilon(x):=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\} [/mm] klar.
Zu ii) Schnitte endlich vieler offener Mengen sind offen (gilt nicht für beliebige Durchschnitte [mm] \bigcap_{n\in\IN} A_n [/mm] z.B. --> Überlege dir ein Gegenbeispiel!).
Es ist ja [mm] $int(A\cap B)=int(A)\cap [/mm] int(B)$.
[mm] "\subseteq" [/mm] ist klar (warum?). [mm] "\supseteq" [/mm] sieht man so:
[mm] $x\in int(A)\cap [/mm] int(B)$ [mm] \Rightarrow $\exists [/mm] r,s>0: [mm] U_r(x)\subseteq [/mm] A, [mm] U_s(x)\subseteq [/mm] B$. Setzte [mm] \epsilon:=min\{r,s\}. [/mm] Dann [mm] $U_\epsilon(x)\subseteq A\cap [/mm] B$, also [mm] $x\in int(A\cap [/mm] B)$. Was folgt jetzt, wenn A,B offen für [mm] $int(A\cap B)=int(A)\cap [/mm] int(B)$? Danach einfach Induktion anwenden.
iii) Ich gebe dir nur mal einen Tipp:
Zeige zunächst [mm] $(\bigcup_{i\in I} int(U_i))\subseteq int(\bigcup_{i\in I}U_i)$. [/mm] Was folgt dann für offene [mm] U_i. [/mm] Dabei darfst du [mm] $int(\bigcup_{i\in I}U_i)\subseteq \bigcup_{i\in I}U_i$ [/mm] als trivial voraussetzten (warum?). Was folgt dann?
Ich hoffe, dass das hilfreich war.
Liebe Grüße
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Landon,
Danke erstmal für die tolle Erklärung, ich kann damit definitv besser arbeiten. Ich weiß nun, dass wenn ich zeigen soll, dass eine Menge offen ist, diese nur aus inneren Punkten besteht. Sprich int(A) = A.
Definiton innerer Punkt. [mm] U_\epsilon(x):=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\} [/mm] :
Also nehmen wir mal das Beispiel x [mm] \in [/mm] X mit [mm] U_1(x)\subseteq X [/mm] . Das hieße ja, dass die Umgebung von Epsilon 1 wäre, und diese Teilmenge sich in X befindet. Nur wie soll mir nun klar werden, dass dies genau der Fall ist. Ich sehe da noch nicht die Verbindung. Ich muss doch zeigen, dass diese existiert, wieso kann man dies also als trivial ansehen? Weil es eine Teilmenge ist und ich zeige es ja von X auf X?
Zu ii). Ich hätte eine Frage zu : "(gilt nicht für beliebige Durchschnitte [mm] \bigcap_{n\in\IN} A_n [/mm] z.B. --> Überlege dir ein Gegenbeispiel!). " Meinst du damit, dass die Durschnitte nun nicht offen sind, oder ob es unendlich viele Durchschnitte sind. Zu letzteren Fall betrachtet man sich die Menge [mm] (-\bruch{1}{k} ; \bruch{1}{k}) [/mm], da mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} : \bigcap{k \in \IN} (-\bruch{1}{k} ; \bruch{1}{k}) = (
\limes_{k\rightarrrow\infty} -\bruch{1}{k} ; \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}) = (0 ; 0) = {0} [/mm]. Meintest du es so?
[mm] "\subseteq [/mm] " ist klar, da die Teilmenge einer Teilmenge einer Teilmenge immer die gleichen Fähigkeiten hat? Man betrachtet sich also die Teilmenge, schaut ob sie offen ist und nimmt dann eine Teilmenge, der Teilmenge in dem immer noch das Element enthalten ist. Stimmt das etwa so?
Gut aus dem "supseteq " bin ich mir auch nicht ganz sicher. Am Ende soweit ich das verstanden habe folgt dann, wenn für A,B offen für [mm] int(A\cap B)=int(A)\cap int(B) [/mm] , dass es ein x gibt, dass innerer Punkt von [mm] int(A\cap B) [/mm] ist, somit muss ich mit Induktion zeigen, dass wenn es ein Element gibt, für dass dies gilt, es also x+1 Elemente gibt. Soweit richtig verstanden?
Zur iii) muss ich gerade noch meine Gedanken ordnen, melde mich dann direkt dazu nochmal.
Gruß
Qight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hallo Landon,
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> Danke erstmal für die tolle Erklärung, ich kann damit
> definitv besser arbeiten. Ich weiß nun, dass wenn ich
> zeigen soll, dass eine Menge offen ist, diese nur aus
> inneren Punkten besteht. Sprich int(A) = A.
> Definiton innerer Punkt. [mm]U_\epsilon(x):=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\}[/mm]
> :
> Also nehmen wir mal das Beispiel x [mm]\in[/mm] X mit
> [mm]U_1(x)\subseteq X[/mm] . Das hieße ja, dass die Umgebung von
> Epsilon 1 wäre, und diese Teilmenge sich in X befindet.
> Nur wie soll mir nun klar werden, dass dies genau der Fall
> ist. Ich sehe da noch nicht die Verbindung. Ich muss doch
> zeigen, dass diese existiert, wieso kann man dies also als
> trivial ansehen? Weil es eine Teilmenge ist und ich zeige
> es ja von X auf X?
Ich dachte, dass der Tipp sich die Definition anzusehen ausreichen würde, aber hier noch mal ausführlicher:
Wie du bemerkt hast ist [mm]U_\epsilon(x):=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\}[/mm]. Wann war denn noch mal [mm] $x\in [/mm] X$ innerer Punkt?
[mm] $x\in [/mm] X$ ist innerer Punkt, falls eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung [mm] U_\epsilon(x) [/mm] existiert, s.d. [mm] $U_\epsilon(x)\subseteq [/mm] X$. Per Definitionem ist [mm] U_\epsilon(x)\subseteq [/mm] X für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] X$, denn [mm] U_\epsilon(x)=\{y\in X:...\}. [/mm] Ich hätte [mm] \epsilon [/mm] also auch [mm] \epsilon:=\frac{2}{\sqrt{e\cdot\pi}} [/mm] wählen können 
>
> Zu ii). Ich hätte eine Frage zu : "(gilt nicht für
> beliebige Durchschnitte [mm]\bigcap_{n\in\IN} A_n[/mm] z.B. -->
> Überlege dir ein Gegenbeispiel!). " Meinst du damit, dass
> die Durschnitte nun nicht offen sind, oder ob es unendlich
> viele Durchschnitte sind. Zu letzteren Fall betrachtet man
> sich die Menge [mm](-\bruch{1}{k} ; \bruch{1}{k}) [/mm], da mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} : \bigcap{k \in \IN} (-\bruch{1}{k} ; \bruch{1}{k}) = (
\limes_{k\rightarrrow\infty} -\bruch{1}{k} ; \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}) = (0 ; 0) = {0} [/mm].
> Meintest du es so?
Bitte ohne den Limes! Ansonsten ist die Wahl der oberen und unteren Grenze in Ordnung. [mm] \{0\} [/mm] ist offensichtlich nicht offen.
> [mm]"\subseteq[/mm] " ist klar, da die Teilmenge einer Teilmenge
> einer Teilmenge immer die gleichen Fähigkeiten hat? Man
> betrachtet sich also die Teilmenge, schaut ob sie offen ist
> und nimmt dann eine Teilmenge, der Teilmenge in dem immer
> noch das Element enthalten ist. Stimmt das etwa so?
> Gut aus dem "supseteq " bin ich mir auch nicht ganz sicher.
> Am Ende soweit ich das verstanden habe folgt dann, wenn
> für A,B offen für [mm]int(A\cap B)=int(A)\cap int(B)[/mm] , dass
> es ein x gibt, dass innerer Punkt von [mm]int(A\cap B)[/mm] ist,
> somit muss ich mit Induktion zeigen, dass wenn es ein
> Element gibt, für dass dies gilt, es also x+1 Elemente
> gibt. Soweit richtig verstanden?
Nein, leider nicht. Es gilt doch int(A)=A, wenn A offen ist. Was folgt also für [mm] int(A\cap [/mm] B)? Denke an die Definition von Offenheit, die du selbst in deinem 2. und 3. Satz als hilfreich eingestuft hast.
Bzgl. der Induktion: Zeige die Behauptung für [mm] $A_1,...,A_n$. [/mm] Induktionsanfang hast du ja bald geschaft, indem du es für n=2 gezeigt hast.
> Zur iii) muss ich gerade noch meine Gedanken ordnen, melde
> mich dann direkt dazu nochmal.
Dann mach das mal
Liebe Grüße
Ladon
> Gruß
> Qight
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Okay, dann versuche ich mich nochmal.
Also [mm] \emptyset [/mm] ist offen, da jeder Punkt einer Menge ein innerer sein muss. Nun gilt [mm] U_\epsilon (x) \subseteq \emptyset [/mm].
Für [mm] U_\epsilon [/mm] (x) = { y [mm] \in \emptyset [/mm] : d(x,y) > [mm] \epsilon [/mm] } , d.h. durch das Fehlen der Punkte in der [mm] \emptyset [/mm] ist eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung immer vorhanden. Nur ist das mathematisch überhaupt korrekt ausgedrückt?
Analog dazu die Menge X.
Es gilt [mm] X \subseteq X[/mm], sogar[mm] X = X [/mm].
Ich wähle also ein x [mm] \in [/mm] X für das gilt:
[mm] U_\epsilon [/mm] = { y [mm] \in [/mm] X : d(x,y) > [mm] \epsilon [/mm] } , d.h. der die Umgebung um den Punkt x ist kleiner gleich der Menge X. Somit ist jeder Punkt für den gilt[mm] x_0 \in X = d(x_0,y) > \epsilon [/mm]. Also sind alle Punkte von X innere Punkte, dass wiederum bedeutet dann X ist offen. Stimmt es denn auch mathematisch?
Zu ii). Also wenn int(A [mm] \cap [/mm] B) gilt, dann gilt das der Durchschnitt offen ist.
Ich habe mich mal daran versucht.
Es existiert ein [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] > 0 mit [mm] U_\alpha (x)\subseteq [/mm] A und [mm] U_\beta \subseteq [/mm] B. Ich setze [mm] \gamma [/mm] = min{ [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] } , dann gilt für ein [mm] z \in U_\gamma (x)[/mm]:
[mm] d(z,x) < \gamma \le \alpha \Rightarrow z \in U_\alpha (x) [/mm] und,
[mm] d(z,x) < \gamma \le \beta \Rightarrow z \in U_\beta (x) [/mm].
Somit gilt [mm] z \in A \cap B \Rightarrow U_\gamma (x) \subseteq A \cap B [/mm]
Zur Induktion. Ich zeige, dass für eine Teilmenge gilt, sie ist offen. Nun muss ich zeigen, dass dies für deren Teilmenge gilt. Und so dass es für n+1 Teilmengen gilt. Hier hättte ich noch eine Verständnisfrage. Wenn ich zeigen muss, dass etwas für die Teilmenge einer Teilmenge usw. gilt, kann ich dann einfach annehmen, dass es für n+1 Teilmengen gilt. Es wäre ja eigentlich rekursiv, deswegen bin ich da gerade etwas verwirrt.
Zur iii). Du sagst, dass gilt $ [mm] int(\bigcup_{i\in I}U_i)\subseteq \bigcup_{i\in I}U_i [/mm] $ und man dies als trivial ansehen kann. Das heißt die Vereinigung von den inneren Punkten [mm] U_{i \in I } [/mm] Teilmenge von der Vereinigung [mm] U_{i \in I } [/mm] ist. Nur warum kann man das einfach so annehmen. Das könnte ich doch nur, wenn ich schon wüsste das [mm] U_{i \in I } [/mm] offen ist, nur muss ich das doch zeigen. Daher bin ich verwirrt.
Zu iv). Stimmt mein Gegenbeispiel denn wirklich? Bin mir da noch nicht ganz sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Di 01.07.2014 | | Autor: | Ladon |
> Okay, dann versuche ich mich nochmal.
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> Also [mm]\emptyset[/mm] ist offen, da jeder Punkt einer Menge ein
> innerer sein muss. Nun gilt [mm]U_\epsilon (x) \subseteq \emptyset [/mm].
> Für [mm] U_\epsilon(x)=\{y\in \emptyset: d(x,y)>\epsilon\} [/mm] , d.h. durch das Fehlen der Punkte in der
> [mm]\emptyset[/mm] ist eine [mm]\epsilon[/mm] - Umgebung immer vorhanden. Nur
> ist das mathematisch überhaupt korrekt ausgedrückt?
Eigentlich hatte ich schon oben begründet, warum [mm] \emptyset [/mm] offen ist, was als Beweis ausreicht. Aber wenn du es gerne über die Definition machst, dann mach es dir doch nicht so schwer. Du kannst doch einfach sagen, dass [mm] U_\epsilon(x)=\{y\in \emptyset: d(x,y)>\epsilon\}=\emptyset [/mm] ist und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
> Analog dazu die Menge X.
> Es gilt [mm]X \subseteq X[/mm], sogar[mm] X = X [/mm].
> Ich wähle also ein x [mm]\in[/mm] X für das gilt:
> [mm] $U_\epsilon= \{ y \in X : d(x,y) >\epsilon\}$ [/mm] , d.h. der die
> Umgebung um den Punkt x ist kleiner gleich der Menge X.
> Somit ist jeder Punkt für den gilt[mm] x_0 \in X = d(x_0,y) > \epsilon [/mm].
> Also sind alle Punkte von X innere Punkte, dass wiederum
> bedeutet dann X ist offen. Stimmt es denn auch
> mathematisch?
Auch das habe ich bereits hinreichend bewiesen! Du müsstest meinen Beweis übernehmen oder überlegst dir einen anderen. [mm] $x_0 \in [/mm] X = [mm] d(x_0,y) [/mm] > [mm] \epsilon$ [/mm] ist übrigens Unsinn.
> Zu ii). Also wenn int(A [mm]\cap[/mm] B) gilt, dann gilt das der
> Durchschnitt offen ist.
> Ich habe mich mal daran versucht.
> Es existiert ein [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] > 0 mit [mm]U_\alpha (x)\subseteq[/mm]
> A und [mm]U_\beta \subseteq[/mm] B. Ich setze [mm] $\gamma= min\{ \alpha, \beta\}$ [/mm] , dann gilt für ein [mm]z \in U_\gamma (x)[/mm]:
> [mm]d(z,x) < \gamma \le \alpha \Rightarrow z \in U_\alpha (x)[/mm]
> und,
> [mm]d(z,x) < \gamma \le \beta \Rightarrow z \in U_\beta (x) [/mm].
>
> Somit gilt [mm]z \in A \cap B \Rightarrow U_\gamma (x) \subseteq A \cap B[/mm]
>
> Zur Induktion. Ich zeige, dass für eine Teilmenge gilt,
> sie ist offen. Nun muss ich zeigen, dass dies für deren
> Teilmenge gilt. Und so dass es für n+1 Teilmengen gilt.
> Hier hättte ich noch eine Verständnisfrage. Wenn ich
> zeigen muss, dass etwas für die Teilmenge einer Teilmenge
> usw. gilt, kann ich dann einfach annehmen, dass es für n+1
> Teilmengen gilt. Es wäre ja eigentlich rekursiv, deswegen
> bin ich da gerade etwas verwirrt.
Ich löse mal auf, was für [mm] $int(A\cap [/mm] B)$ mit A, B offen folgt:
[mm] $int(A\cap B)=int(A)\cap int(B)=A\cap [/mm] B$, das erste Gleich habe ich oben gezeigt und das letzte Gleich folgt aus der Offenheit von A und B. Also ist [mm] $int(A\cap B)=A\cap [/mm] B$, was gerade die Definition von Offenheit ist! Also ist [mm] $A\cap [/mm] B$ offen.
So Induktionsanfang für n=2 geschafft.
Zur Induktion: Du musst zeigen, dass für n+1 offene Teilmengen [mm] U_1,...,U_{n+1} [/mm] der Schnitt offen ist, also ist $ [mm] int(U_1 \cap \cdots \cap U_{n+1})= U_1 \cap \cdots \cap U_{n+1}$ [/mm] zu zeigen.
Als Induktionsvoraussetzung hast du:
[mm] $U_1,...,U_n\subseteq [/mm] X$ offen [mm] \Rightarrow $U_1 \cap \cdots \cap U_n\subseteq [/mm] X$ offen, auch hier ist also [mm] $int(U_1 \cap \cdots \cap U_{n})= U_1 \cap \cdots \cap U_{n}$. [/mm] Nutze Induktionsvoraussetzung und argumentiere analog zum Induktionsanfang, den ich bereits in einem vorherigen Kommentar bewiesen habe.
> Zur iii). Du sagst, dass gilt [mm]int(\bigcup_{i\in I}U_i)\subseteq \bigcup_{i\in I}U_i[/mm]
> und man dies als trivial ansehen kann. Das heißt die
> Vereinigung von den inneren Punkten [mm]U_{i \in I }[/mm] Teilmenge
> von der Vereinigung [mm]U_{i \in I }[/mm] ist. Nur warum kann man
> das einfach so annehmen. Das könnte ich doch nur, wenn ich
> schon wüsste das [mm]U_{i \in I }[/mm] offen ist, nur muss ich das
> doch zeigen. Daher bin ich verwirrt.
Bilde mal das innere einer beliebigen Menge M. Du wirst immer [mm] $int(M)\subseteq [/mm] M$ finden auch bei nicht offenen Mengen (für Offenheit müsste ja statt [mm] \subseteq [/mm] ein = dort stehen), da das Innere nur die Punkte umfasst, die auch mit einer [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung in der Menge liegen. Du schränkst also mit der Bildung des Inneren einer Menge die Auswahl an "zulässigen" Punkten ein, um es anschaulich zu formulieren. Damit wirst du nur Teilmengen erhalten, bestenfalls die Menge selbst, wie es bei offenen Mengen gerade der Fall ist.
> Zu iv). Stimmt mein Gegenbeispiel denn wirklich? Bin mir da
> noch nicht ganz sicher.
Muss ich dich jetzt von der Richtigkeit deines Gegenbeispiels überzeugen? Überzeuge dich selbst, dass [mm] \bigcap_{k\in\IN}]-\frac{1}{k},\frac{1}{k}[=\{0\} [/mm] geeignet ist.
MfG Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 01.07.2014 | | Autor: | Qight |
Hallo Landon,
Ich versuche nur so mathematisch wie möglich zu argumentieren, da ich wegen trivialer Annahmen schon öfter verbessert wurde. Klar enthält die [mm] \emptyset [/mm] keine Elemente, also ist sie offen ( und abgeschlosssen). Ich will ja lernen, dies korrekt aufzuschreiben.
Ich würde ja fast schon zeigen, dass X [mm] \cap \emptyset [/mm] = X ist und damit ist [mm] U_\epsilon [/mm] (x) = {y [mm] \in [/mm] X : d(x,y) < [mm] \epsilon [/mm] } . Mir geht es darum es richtig zu vermerken.
Genauso der Fall von X. Du hast ja gezeigt, dass für jedes x [mm] \in [/mm] X z.B. gilt [mm] U_1 [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] X . Aber ein Beispiel ist ja kein Beweis. Deshalb verstehe ich das ja noch nicht, wie man dies eben als allgemein gültig ansehen kann.
Meinen Fehler von $ [mm] x_0 \in [/mm] X = [mm] d(x_0,y) [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] $ sehe ich absolut ein. Das ist wirklich Unsinn.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 01.07.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hallo Landon,
>
> Ich versuche nur so mathematisch wie möglich zu
> argumentieren, da ich wegen trivialer Annahmen schon öfter
> verbessert wurde. Klar enthält die [mm]\emptyset[/mm] keine
> Elemente, also ist sie offen ( und abgeschlosssen). Ich
> will ja lernen, dies korrekt aufzuschreiben.
Mir ist ein offensichtlicher Fehler aufgefallen bei meiner Antwort:
Es darf natürlich nicht
$ [mm] U_\epsilon(x)=\{y\in \emptyset: d(x,y)<\epsilon\}=\emptyset$ [/mm] heißen, sondern [mm] $U_\epsilon(x)=\{y\in X: d(x,y)<\epsilon\}$ [/mm] für [mm] x\in \emptyset. [/mm] Da aber [mm] \emptyset [/mm] kein Element enthält existiert auch keine [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung. Also gilt für alle [mm] \epsilon [/mm] -Umgebungen das gewünschte, da es keine Elemente gibt (siehe Argumentation oben!).
> Ich würde ja fast schon zeigen, dass X [mm]\cap \emptyset[/mm] = X
> ist und damit ist [mm]U_\epsilon[/mm] (x) = [mm] $\{y \in X : d(x,y) <\epsilon\}$ [/mm] . Mir geht es darum es richtig zu vermerken.
> Genauso der Fall von X. Du hast ja gezeigt, dass für
> jedes x [mm]\in[/mm] X z.B. gilt [mm]U_1[/mm] (x) [mm]\subseteq[/mm] X . Aber ein
> Beispiel ist ja kein Beweis. Deshalb verstehe ich das ja
> noch nicht, wie man dies eben als allgemein gültig ansehen
> kann.
Schau dir noch mal die Definition an:
$ [mm] x_0 \in [/mm] A $ heißt innerer Punkt von A, wenn eine (irgendeine) $ [mm] \epsilon [/mm] $ - Umgebung $ [mm] U_\epsilon(x_0) [/mm] $ für $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ existiert, die ganz in A liegt.
Wir müssen also die Existenz zeigen. Du darfst dir also ein [mm] \epsilon>0 [/mm] konkret wählen. Das habe ich getan. Auch im Fall von X kann [mm] \epsilon>0 [/mm] sogar beliebig gewählt werden.
MfG
Ladon
> Meinen Fehler von [mm]x_0 \in X = d(x_0,y) > \epsilon[/mm] sehe ich
> absolut ein. Das ist wirklich Unsinn.
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Hallo,
> a) Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
> i) [mm]\emptyset,[/mm] X sind offen in X.
> ii) Sind [mm]U_1, \cdots , U_r \subset X[/mm] offen, dann ist auch
> [mm]U_1 \cap , \cdots , \cap U_r \subset X[/mm] offen.
Beweis:
Sei also [mm] \{U_i\}_{i\in{I}} [/mm] eine Familie von offenen Mengen in X. Sei dann [mm] x\in{D}:=\bigcap_{i\in{I}}U_i. [/mm] Dann existieren Zahlen [mm] \epsilon_k>0, [/mm] so dass [mm] B_{\epsilon_i}(x)\in{U_i} [/mm] für alle [mm] i\in{I}. [/mm] Wählt man nun von diesen [mm] \epsilon_i [/mm] das kleinste, also [mm] \epsilon:=\min\{\epsilon_i\}, [/mm] so gilt natürlich auch [mm] B_\epsilon(x)\subset{U_i} [/mm] für alle [mm] i\in{I} [/mm] und somit auch [mm] B_\epsilon(x)\in{D}.
[/mm]
Das ist auch schon alles.
> iii) Ist [mm](Ui)_{i \in I}[/mm] eine Familie offener Mengen in X,
> dann ist auch [mm]\bigcup_{i=I} U_i \subset X[/mm] offen.
Ja, das ist ähnlich wie oben. Ich würde sagen, probier es einfach mal.
> Gilt ii) auch für den beliebige Durchschnitte
> [mm]\bigcap_{i=I} U_i[/mm] offener Mengen? (Beweis oder
> Gegenbeispiel).
Hier kann man leicht ein gegenbeispiel kontstruieren - insbesondere wenn man an Nullfolgen denkt.
>
> b) Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei [mm]\emptyset \not= A \subset X[/mm].
> Zeigen Sie:
> i) [mm]\partial A \subset X[/mm] ist abgeschlossen.
Wende auch hier die Definition an. Du könntest also zeigen, dass gerade das Komplement vom Rand offen ist.
> ii) [mm]\overline{A} = A \sup \partial A[/mm]
Das sollte wohl [mm] \overline{A}=A\cup\partial{A} [/mm] bedeuten, oder?
> iii) [mm]\overline{A} \ \partial A \subset X ist offen.[/mm]
Und das hier sollte sicherlich
[mm] \overline{A}\setminus\partial{A}\subset{X} [/mm]
heißen.
Nagut. am besten erst einmal a) machen. Dann schauen wir weiter.
>
> Hier bin ich vollkommen ratlos. Ich weiß wenn, (X, d) ein
> metrischer Raum ist und [mm]\emptyset \not= A \subset X [/mm]. Dann
> heißt: [mm]\partial A = { x \in X ; \forall \epsilon > 0: U_\epsilon (X) \cap A \not= \emptyset = \emptyset U_\epsilon (x) \cap (X \ A)}[/mm]
> der Rand von A.
> Für die die a) muss ich doch für ein [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein
> Element in X finden, so dass es ein Element in [mm]R^{n}[/mm] gibt,
> dessen Abstand kleiner ist, als der des Elementes aus X.
> Dann ist eine Menge offen. Bei der leeren Menge gibt es
> aber kein Element, ist somit jedes Element dichter an ein
> [mm]\epsilon[/mm] dran? Wie schon gesagt, allein die erste
> Aufgabenstellung verwirrt mich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Qight |
Danke für deine Antwort. Bin gerade noch an der Uni, werde mich damit dann direkt danach beschäftigen. Finde die Unterstütung super
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