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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Do 17.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Behauptungen:
1) [mm] \bigcup_{n\in \IN} ]0,n[=]0,\infty[
[/mm]
2) [mm] \bigcup_{n\in \IN} ]\bruch{1}{n^2},1]=]0,1]
[/mm]
3) [mm] \bigcap_{n\in \IN} [/mm] ]-q,q[= {0}, wobei [mm] \IQ^+={q\in \IQ| q>0}
[/mm]
4) [mm] \bigcap_{n\in \IN} [0,q]=\emptyset [/mm] |
Hallo,
also ich bin hier etwas verunsichert. Wir hatten in der Uni ein Beispiel dafür und ich habe die ersten beiden jetzt mal analog gemacht.
zu1)
[mm] \subseteq \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] L [mm] \exists n\in \IN [/mm] : x [mm] \in ]0,n[\le ]0,\infty[
[/mm]
[mm] \supseteq [/mm] Sei x [mm] \in ]0,\infty[ [/mm] dann [mm] \exists n_1 [/mm] mit x [mm] \in ]0,n_1[ [/mm] mit [mm] n=max{n_1}
[/mm]
analog dazu habe ich die 2) gemacht.
Ist das richtig?
Gruß Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie folgende Behauptungen:
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> 1) [mm]\bigcup_{n\in \IN} ]0,n[=]0,\infty[[/mm]
>
> 2) [mm]\bigcup_{n\in \IN} ]\bruch{1}{n^2},1]=]0,1][/mm]
>
> 3) [mm]\bigcap_{n\in \IN}[/mm] ]-q,q[= {0}, wobei [mm]\IQ^+={q\in \IQ| q>0}[/mm]
>
> 4) [mm]\bigcap_{n\in \IN} [0,q]=\emptyset[/mm]
> Hallo,
>
> also ich bin hier etwas verunsichert. Wir hatten in der Uni
> ein Beispiel dafür und ich habe die ersten beiden jetzt
> mal analog gemacht.
>
> zu1)
>
> [mm]\subseteq \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] L [mm]\exists n\in \IN[/mm] : x [mm]\in ]0,n[\le ]0,\infty[[/mm]
Vielleicht meinst Du es richtig. Du hast es aber sehr unglücklich formuliert.
[mm] \subseteq [/mm] : sei x [mm] \in \bigcup_{n\in \IN} [/mm] ]0,n[. Dann gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit: x<n. Dann ist x [mm] \in [/mm] ]0,n[ und damit auch x [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \infty[ [/mm] .
>
>
> [mm]\supseteq[/mm] Sei x [mm]\in ]0,\infty[[/mm] dann [mm]\exists n_1[/mm] mit x [mm]\in ]0,n_1[[/mm]
Ja, und damit haben wir: x [mm] \in \bigcup_{n\in \IN} [/mm] ]0,n[.
FRED
> mit [mm]n=max{n_1}[/mm]
Was soll das bedeuten ?
>
> analog dazu habe ich die 2) gemacht.
>
> Ist das richtig?
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
vielen dank für die korrektur!
Die zweite würde ich dann genauso machen, aber bei den anderen beiden bin ich mir nicht sicher.
Ich habe jetzt bei der 3.:
[mm] \subseteq [/mm] Sei [mm] x\in \bigcap_{q\in \IQ^+}]-q,q[. [/mm] Dann gibt es ein (oder heißt es für alle gilt, weil es ja keine Vereinigung, sondern ein Schnitt ist) q [mm] \in \IQ [/mm] mit x<q. Dann ist x [mm] \in [/mm] [-q,q[ und damit auch [mm] x\in [/mm] {0}.
[mm] \supseteq [/mm]
Sei x [mm] \in \bigcap_{q\in \IQ^+} [/mm] {0}. Dann gilt [mm] \forall [/mm] q > 0, [mm] x\in [/mm] ]-q,q[ und damit haben wir [mm] \x [/mm] in [mm] \bigcap_{q \in \IQ^+} [/mm] ]-q,q[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> vielen dank für die korrektur!
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> Die zweite würde ich dann genauso machen, aber bei den
> anderen beiden bin ich mir nicht sicher.
>
> Ich habe jetzt bei der 3.:
>
> [mm]\subseteq[/mm] Sei [mm]x\in \bigcap_{q\in \IQ^+}]-q,q[.[/mm] Dann gibt
> es ein (oder heißt es für alle gilt, weil es ja keine
> Vereinigung, sondern ein Schnitt ist) q [mm]\in \IQ[/mm] mit x<q.
> Dann ist x [mm]\in[/mm] [-q,q[ und damit auch [mm]x\in[/mm] {0}.
Das ist Murks.
Sei [mm]x\in \bigcap_{q\in \IQ^+}]-q,q[.[/mm].
Dann gilt x [mm] \in [/mm] ]-q,q[ für alle q [mm] \in \IQ^+. [/mm] Insbesondere ist dann $-1/n<x<1/n für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Mit n [mm] \to \infty [/mm] erhält man x=0
>
>
> [mm]\supseteq[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \bigcap_{q\in \IQ^+}[/mm] {0}. Dann gilt [mm]\forall[/mm] q >
> 0, [mm]x\in[/mm] ]-q,q[ und damit haben wir [mm]\x[/mm] in [mm]\bigcap_{q \in \IQ^+}[/mm]
> ]-q,q[
Auch das ist völlig chaotisch.
Aus x = 0 folgt natürlich trivialerweise: -q<x<q für alle q [mm] \in \IQ^+. [/mm] Somit $ [mm] x\in \bigcap_{q\in \IQ^+}]-q,q[. [/mm] $
FRED
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