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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \alpha_n [/mm] sei eine konvergente Reihe und [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge im vollständigen metrischen Raum (X,d). Zeige: Gilt für alle [mm] n\in \IN [/mm]
[mm] d(x_n,x_{n+1}) \le \alpha_n, [/mm] so ist [mm] (x_n) [/mm] konvergent. |
Hey Leute,
ich hab da einen Satz im Skript gefunden, der da lautet:
Eine Folge [mm] (x_n) [/mm] im metrischen Raum (X,d) heißt Cauchyfolge, wenn eine Nullfolge [mm] (\nu_n)_{n\in \IN} [/mm] existiert mit für alle [mm] n,k\in \IN [/mm]
[mm] d(x_n,x_{n+k}) \le \nu_n.
[/mm]
Ich kann diesen nur nicht anwenden. Wär nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Voraus
Sharik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mo 11.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das passt schon - zeige, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist, d.h.
[mm] \forall\epsilon>0 \exists N\in\IN [/mm] mit [mm] d(x_m, x_n)<\epsilon \forall [/mm] m,n>N.
Wenn n=m+1, ist offensichtlich immer ein N zu finden, so dass [mm] d(x_m, x_n)<\epsilon. [/mm] Um das für allgemeine m und n zu beweisen, musst du [mm] d(x_m, x_n) [/mm] durch [mm] d(x_m, x_{m+1})+d(x_n, x_{n+1}) [/mm] nach oben abschätzen, und die kannst du wiederum durch genügend kleine [mm] \alpha_n\le\bruch{\epsilon}{2} [/mm] abschätzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Sharik |
Hm irgendwie ist mir noch nicht ganz klar was hier passiert ist
> Wenn n=m+1, ist offensichtlich immer ein N zu finden, so
> dass [mm]d(x_m, x_n)<\epsilon.[/mm] Um das für allgemeine m und n zu
> beweisen, musst du [mm]d(x_m, x_n)[/mm] durch [mm]d(x_m, x_{m+1})+d(x_n, x_{n+1})[/mm]
> nach oben abschätzen, und die kannst du wiederum durch
> genügend kleine [mm]\alpha_n\le\bruch{\epsilon}{2}[/mm] abschätzen.
Ich dachte ich müsste erstmal irgendwie zeigen, dass [mm] \nu_n [/mm] eine Nullfolge ist bzw. so setzen dass es klar ist, dass es eine Nullfolge ist und dann irgendwie nach oben abschätzen...
Komme aber oben mit den Indizies nicht klar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:38 Di 12.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Dass [mm] \alpha_{n} [/mm] eine Nullfolge ist, ist klar, weil das eine Notwendige Bedingung dafür ist, dass die Reihe konvergiert.
Wenn du mit Indizies nicht klar kommst, dann benutze konkrete Zahlen, um eine Vorstellung von der Sache zu gewinnen.
Gruß,
dormant
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