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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Do 29.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Für [mm] A\inM_{n\times\,n}(\IC), A=(a_{ij})_{1\le\,i,j\l\,n}, [/mm] definiere [mm] ||A||:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^2}
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] d(A,B):=||A-B||_2 [/mm] eine Metrik auf [mm] M{n\times\,n}(\IC) [/mm] definiert.
(b) Sei [mm] (A_k)_{k\in\IN}, A_k=(a_{ij}^{(k)})_{1\le\,i,j\le\,n}, [/mm] eine Folge in [mm] M_{n\times\,n}(\IC). [/mm] Zeige, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}A_k=A [/mm] genau dann wenn [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}a_{ij}^{(k)}=a_{ij} [/mm] für alle [mm] 1\le\,i,j\le\,n.
[/mm]
Folgere, dass [mm] (M_{n\times\,n}(\IC),d) [/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist.
(c) Bweise, dass [mm] ||AB||_2\le||A||_2\cdot||B||_2 [/mm] für alle [mm] A,B\in\,M{n\times\,n}(\IC)
[/mm]
(d) Zeige, dass für jedes [mm] A\in\M_{n\times\,n}(\IC) [/mm] die Reihe [mm] exp(A):=\summe_{k\ge0}\bruch{1}{k!}A^k [/mm] konvergiert.
(e) Berechne [mm] exp\pmat{ 0 & -t \\ t & 0 }
[/mm]
(f) Zeige: Wenn AB=BA, dann exp(A+B)=exp(A)exp(B). |
also ich fang mal vorne an
zu (a) Hier müssen wohl nur die Axiome für eine Metrik gezeigt werden (positiv definit, Symmeterie, Dreiecksungl.)
zu (b) muss ich zeigen, dass die einzelnen Einträge der Matrix konvergieren und äquivalent dazu dann die Folge der Matrizen konvergiert? Aber was ist A? außer das es eine Matrix ist ist doch garnix definiert, oder? Muss ich dann nur zeigen, dass der Grenzwert existiert, wenn ja, wie? Und für die Folgerung muss ich dann noch zeigen, dass dieser Grenzwert auch wieder in [mm] M_{n\times\,n}(\IC) [/mm] liegt, oder?
zu(c) geht einfach über die definition der metrik und mit dreiecksungleichung oder?
zu (d) ist doch bekannt bzw. offensichtlich, dass diese Reihe konvergiert? Wie zeige ich das?
zu (e) hir einfach den Grenzwert aus (d) benutzen?
zu (f) auch über die Reihe aus (d) oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 29.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Ich hab ne Frage zu Teilaufgabe d)-f).
Und zwar haben wir vor kurzem in LA gezeigt, dass d) gilt, gerade weil über [mm] \IC [/mm] f) gilt.(JNF und Zerlegung in eine Nilpotente und eine Diagonalmatrix)
Ändert sich darum etwas durch vorhanden sein dieser Metrik, oder ist die Reihenfolge der Aufgaben etwas undurchdacht?
Wäre echt super, wenn mir das jemand kurz sagen könnte, bevor ich mich auf die Suche einer Lösung mache:)
MfG Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Do 29.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wieso sollte sich dadurch was ändern?
Du kriegst dadurch möglicherweise nur eine weitere Möglichkeit es zu beweisen (ich kenn die Beweise nicht... das ist jetzt bloß geraten).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Naja, warum sich dadurch was ändern sollte weiss ich nicht:)
Es kommt mir einfach nur komisch vor, da es in der Linearen Algebra halt ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz war, dass AB=BA.
Es funktionierte halt über [mm] \IC [/mm] genau deshalb, weil sich jede Matrix als JNF darstellen lässt, die dann halt eine Summe von einer Diagonalmatrix und einer Unitären Matrix war.
Hier scheint es durch die Anordnung der Aufgaben ja nicht von bedeutung zu sein, was mich halt etwas irritiert.
MfG
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Fr 30.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
die konvergenz der reihe ist doch völlig unabhängig von f) - ich wüsste nicht, wo das eingehen sollte, bei der konvergenzbetrachtung kommt doch eigentlich nur die matrix $A$ (und ihre potenzen) vor. poste doch einfach mal eine beweisskizze, dann kann man das vielleicht besser beurteilen.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:34 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Andreas.
Also ich habe mich jetzt etwas mit der Aufgabe beschäftigt.
a)-c) habe ich, glaube ich, so weit richtig gelöst, aber bei der Konvergenz von der e-funktion habe ich jetzt doch meine Probleme.
Und zwar sind die Einträge der [mm] A^k [/mm] für mich einfach überhaupt nicht klar, wenn man die Matrix eben nicht auf JNF bringt und in eine Diagonalmatrix und eine Nilpotente Matrix zerlegt.
Weil es ja ein absolutes durcheinander der [mm] a_{ij} [/mm] wird, wenn [mm] \forall a_{ij} [/mm] gilt [mm] a_{ij}>0
[/mm]
Bin da momentan irgendwie noch ratlos, wenn da jemand nen tip hätte wäre ich sehr dankbar.
MfG
Alexis
EDIT: Ich sollte mehr nachdenken bevor ich hier Fragen stelle, tut mir leid:(
Habe mir jetzt folgendes überlegt dafür:
Sei [mm] A\in M(n\times n,\IC) [/mm] beliebig. So setze [mm] A'=\pmat{d&\dots&d\\&\ddots&\\d&\dots&d} [/mm] mit d= [mm] max\{a_{ij}\} 1\le i,j\le [/mm] n.
Somit gilt: [mm] exp(A)\le [/mm] exp(A') und [mm] a_{ij}\in [/mm] A' = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{d^k}{k!}=e^d
[/mm]
somit ist [mm] \pmat{e^d&\dots&e^d\\&\ddots&\\e^d&\dots&e^d} [/mm] konvergente Majorante.
Funktioniert das so, oder habe ich da nen Denkfehler drin?
MfG
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 So 01.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 01.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Und zwar sind die Einträge der [mm]A^k[/mm] für mich einfach
> überhaupt nicht klar,
die konkreten einträge musst du auch gar nicht kennen, es reicht ja, wenn du die norm geeignet abschätzen kannst.
> Habe mir jetzt folgendes überlegt dafür:
>
> Sei [mm]A\in M(n\times n,\IC)[/mm] beliebig. So setze
> [mm]A'=\pmat{d&\dots&d\\&\ddots&\\d&\dots&d}[/mm] mit d=
> [mm]max\{a_{ij}\} 1\le i,j\le[/mm] n.
>
> Somit gilt: [mm]exp(A)\le[/mm] exp(A') und
hier solltest du beachten, dass $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C})$ [/mm] keine "natürliche" ordnung hat. wann soll den eine matrix größer sein, als eine andere? aber die majoranten idee ist schonmal ganz gut.
überlege dir doch mal, ob du mithilfe von (c) zeigen kannst, dass es sich um eine cauchy-folge handelt. wegen (b) muss diese dann kovergieren.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Do 29.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also ich fang mal vorne an
> zu (a) Hier müssen wohl nur die Axiome für eine Metrik
> gezeigt werden (positiv definit, Symmeterie,
> Dreiecksungl.)
ja.
> zu (b) muss ich zeigen, dass die einzelnen Einträge der
> Matrix konvergieren und äquivalent dazu dann die Folge der
> Matrizen konvergiert? Aber was ist A? außer das es eine
> Matrix ist ist doch garnix definiert, oder? Muss ich dann
> nur zeigen, dass der Grenzwert existiert, wenn ja, wie? Und
> für die Folgerung muss ich dann noch zeigen, dass dieser
> Grenzwert auch wieder in [mm]M_{n\times\,n}(\IC)[/mm] liegt, oder?
damit wird dir ja schon ein ganz guter kandidat füpr den grenzwert in $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C})$ [/mm] in die hand gegeben: $A = [mm] (a_{ij})$. [/mm] das folgt auch ganz einfach wegen $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C}) \cong \mathbb{C}^{n^2}$.
[/mm]
> zu (d) ist doch bekannt bzw. offensichtlich, dass diese
> Reihe konvergiert? Wie zeige ich das?
naja, so offensichtlich ist das nicht - finde ich. nur weil die reihe etwa für komplexe zahlen konvergiert muss die reihe für matrizen doch noch lange nicht konvergieren.
> zu (e) hir einfach den Grenzwert aus (d) benutzen?
mal ein paar potenzen ausrechnen und sehen, dass dman das geschickt nach geraden und ungeraden potenzen aufteilen kann.
> zu (f) auch über die Reihe aus (d) oder?
ja, so sind die ausdrücke ja definiert.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Andreas.
zu e)
Ich habe mir mal einige Potenzen angeschaut, wie du geraten hast, und komme damit auf:
[mm] exp(\pmat{ 0 & -t \\ t & 0 })=\limes_{n\rightarrow\infty}\pmat{ \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2i}t^{2i} & \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^{k+1}}{2i+1}t^{2i+1} \\ -\summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2i+1}t^{2i+1} & \summe_{i=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2i}t^{2i}}=\pmat{ cos t & -sin t \\ sin t & cos t }
[/mm]
Kann das hinkommen oder hab ich mich da irgendwo total vertan?
Wäre zumindest nen hübsches Ergebnis :)
MfG
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Bei dir fehlen auf jeden Fall schonmal die Fakultäten im Nenner und [mm] (-1)^i [/mm] im Zähler!
Vielleicht hast du dich einfach nur verrechnet...
Ich hab als Ergebnis:
[mm] \pmat{ cos(t) & -sin(t) \\ sin(t) & cos(t) }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Oh Mann, war wieder zu blöd die Sachen richtig vom Zettel abzutippen, ja habs auch so wie du.
Die 1 im Bruch soll natürlich [mm] (-1)^k [/mm] sein und dann steht da ja auch das was du geschrieben hast und nicht das was ich geschrieben habe:/ Bin etwas verwirrt gewesen hab ich das gefühl:)
bis denn,
Alexis
EDIT: Hab meinen vorigen Post jetzt bearbeitet was ich falsch abgetippt hatte. Mit deiner Antwort ist die Frage jetzt ja beantwortet, kann man die nicht abhaken als Autor? weil da steht jetzt ja immernoch "teilweise beantwortet"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Aufgabe erledigt :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Ich habe bei der Aufgabe a) ein Problem mit der Dreiecksungleichung!
Z.zg.: [mm] \forall A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), C=(c_{ij}) \in M(nxn,\IC): d(A,C)\le [/mm] d(A,B) + d(B,C)
Betrachte:
d(A,C) = [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-c_{ij}|^2)} [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}+b_{ij}-c_{ij}|^2)}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}((|a_{ij}-b_{ij}|+|b_{ij}-c_{ij}|)^2)}
[/mm]
=.............(hier weiß ich nicht weiter)....
= [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}|^2 )+{\summe_{i,j=1}^{n}(|b_{ij}-c_{ij}|^2)}}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}|^2 )}+ \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|b_{ij}-c_{ij}|^2)}
[/mm]
= d(A,B) + d(B,C)
So zur Stelle wo ich nicht weiter komme:
Ich habe mir überlegt, dass gilt:
[mm] |x|^2+|y|^2 \le (|x|+|y|)^2 [/mm] aber das würde meine Ungleichung ja ehr in die "falsche Richtung" entwickeln..
Sind meine anderen Schritte denn richtig?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wäre seeeehr dankbar :)
edit:
Zur c)
[mm] z.zg.:||A*B||_2 \le ||A||_2 [/mm] * [mm] ||B||_2
[/mm]
Nur wie sieht mein A*B denn aus?
Da müsste ich doch 2 allgemeine Matrizen aufschreiben und diese multiplizieren..
Aber dann komm ich am Ende auf KEINE so "schöne" Form wie z.B.: [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}b_{ij}|^2}
[/mm]
Denn A*B = [mm] (a_{ij})*(b_{ij}) [/mm] ist ja nicht gleich [mm] a_{ij}*b_{ij} [/mm] oder vertu ich mich da jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Damn.
[mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}((|a_{ij}-b_{ij}|+|b_{ij}-c_{ij}|)^2)}
[/mm]
Ist das nicht im endeffekt [mm] \parallel x+y\parallel_2 [/mm] mit x:= [mm] |a_{ij}-b_{ij}| [/mm] und [mm] y:=|b_{ij}-c_{ij}| [/mm] ?
Wenn das so wäre, könnte man halt die Minkowskische Ungleichung anwenden denke ich.
Muss aber nicht stimmen, ist mir nur so in den Kopf gekommen, noch nicht so genau drüber nachgedacht.
Aber ich denke der Satz könnte dort schon funktionieren, wenn man zb das "i" festsetzt, und nur das j laufen lässt, gilt für jedes i halt die Minkowskische Ungleichung.
Kann aber auch sein dass ich da nen totalen denkfehler habe:)
MfG Alexis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey,
ja mh da ist halt echt das einzige Problem, dass das hier ja quasi 2 Summen sind.. Aber vielleicht gehts ja trotzdem. Mal schauen - ist auf jeden Fall besser als nix xD
Hast du vielleicht was zur b oder c?
Oder kann mir sonst jemand einen Tipp dazu geben?
Ich komm da echt gar nicht weiter..
In LA hatte ich das Gefühl, dass das eien Definition war, dass [mm] A_k [/mm] genau dann konvergiert wenn [mm] a_{ij}^k [/mm] konvergiert..
Deswegen weiß ich gar nicht, was man hier wie zeigen soll!
Kann man die Folgerung dass [mm] (M(nxn,\IC),d) [/mm] vollständig ist, vllt so machen:
Sei [mm] A_k [/mm] eine Cauchy- Folge in [mm] M(nxn,\IC),d)
[/mm]
=> [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n: [mm] a_{ij}^k [/mm] ist Cauchy-Folge in [mm] \IC
[/mm]
=> [mm] \exists a_{ij}: \limes_{k\rightarrow\infty} a_{ij}^k [/mm] = [mm] a_{ij}
[/mm]
<=> [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} A_k [/mm] = A [mm] \in M(nxn,\IC)
[/mm]
Aber da ich gar nicht die Metrik benutzt habe, bin ich nicht sonderlich überzeugt davon..
Aber als ich versucht habe diese zu benutzen, hab ich es nicht geschafft "auf [mm] \IC" [/mm] zu kommen.
und bei der c) weiß ich wie gesagt nicht, wie "AB" aussehen soll!
Wäre toll Hilfe zu bekommen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Damn
zu b) habe ich folgendes gemacht.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}A_k=A\gdw \parallel\limes_{k\rightarrow\infty}A_k-A\parallel_2=0
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|\limes_{k\rightarrow\infty}a_{ij}^{(k)}-a_{ij}|^2}=0
[/mm]
[mm] \gdw\limes_{k\rightarrow\infty}a_{ij}^{(k)}=a_{ij}
[/mm]
Und das gleiche natürlich noch andersrum. Denke das sollte so stimmen.
Das es ein vollständiger metrischer Raum ist, dafür muss nun ja noch jede Cauchyfolge konvergieren.
Dazu habe ich mir folgendes gedacht: Sei [mm] A_k [/mm] Cauchyfolge, also
[mm] \forall \epsilon>0\exists n_0(\epsilon), [/mm] so dass [mm] \forall m,n>n_0: A_m-A_n\gdw a_{ij}^{(m)}-a_{ij}^{(n)}<\epsilon\gdw A_k [/mm] konvergent.
Oder geht das so nicht? Also hab es sehr kurz formuliert, das eintippen ist immer so mühsam, aber die Idee sollte rübergekommen sein denk ich:)
MfG
Alexis
EDIT: Achso, hast du dir meine Lösung zu d) mal angeschaut? Kann das so stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 01.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Kann man die Folgerung dass [mm](M(nxn,\IC),d)[/mm] vollständig
> ist, vllt so machen:
> Sei [mm]A_k[/mm] eine Cauchy- Folge in [mm]M(nxn,\IC),d)[/mm]
> => [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n: [mm]a_{ij}^k[/mm] ist Cauchy-Folge in
> [mm]\IC[/mm]
warum? das sollte man etwas genauer begründen.
hier würde ich auch eher so vorgehen: sei [mm] $A_k$ [/mm] in $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C})$ [/mm] konvergent gegen $A = [mm] (a_{ij})$, [/mm] dann ist für alle $i, j$ die folge [mm] $a_{ij}^{k}$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a_{ij}$, [/mm] denn:
[mm] $|a_{ij}^k [/mm] - [mm] a_{ij}| [/mm] = [mm] \sqrt{|a_{ij}^k - a_{ij}|^2} \leq \sqrt{ \sum_{\ell,m = 1}^n |a_{\ell m}^k - a_{\ell m}|^2} [/mm] = [mm] d(A_k, [/mm] A) [mm] \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$
die andere richtung sollte ähnlich gehen, da bekommt man vielleicht noch den konstanten faktor [mm] $n^2$ [/mm] mithineien, der sollte aber nicht stören.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 01.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Z.zg.: [mm]\forall A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), C=(c_{ij}) \in M(nxn,\IC): d(A,C)\le[/mm]
> d(A,B) + d(B,C)
>
> Betrachte:
> d(A,C) = [mm]\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-c_{ij}|^2)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}+b_{ij}-c_{ij}|^2)}[/mm]
> [mm]\le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}((|a_{ij}-b_{ij}|+|b_{ij}-c_{ij}|)^2)}[/mm]
>
> =.............(hier weiß ich nicht weiter)....
> = [mm]\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}|^2 )+{\summe_{i,j=1}^{n}(|b_{ij}-c_{ij}|^2)}}[/mm]
>
> [mm]\le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|a_{ij}-b_{ij}|^2 )}+ \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}(|b_{ij}-c_{ij}|^2)}[/mm]
>
> = d(A,B) + d(B,C)
>
> So zur Stelle wo ich nicht weiter komme:
> Ich habe mir überlegt, dass gilt:
> [mm]|x|^2+|y|^2 \le (|x|+|y|)^2[/mm] aber das würde meine
> Ungleichung ja ehr in die "falsche Richtung" entwickeln..
ich habe ja schon weiter oben geschrieben, dass dieser raum mit dieser norm gerade der [mm] $\mathbb{C}^{n^2}$ [/mm] ist - nur etwas anders aufgeschrieben. wenn ihr nun in der vorlesung die dreiecksungleichung für diesen raum bewiesen habt, könnt ihr das im prinzip hier genauso machen, daher ist die idee mit der minkowskiungleichung schon sehr gut...
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hey!
Kann man die Aufgabe a, Dreiecksungleichung vielleicht so machen?
d(A,C) = [mm] ||A-C||_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{j,i=1}^{n}|a_{ij}-c_{ij}|^2}
[/mm]
Nun kann man A, C und B auch als Elemente in [mm] \IC^{n^2} [/mm] auffassen. (in dem man alle Einträge in eine Spalte schreibt) nennen wir A in dieser Form x, C y und B z.
=>
d(A,C) = [mm] ||A-C||_2 [/mm] (in [mm] M(nxn,\IC)) [/mm] = [mm] ||x-y||_2 [/mm] (in [mm] \IC^{n^2}))
[/mm]
= [mm] ||x-z+z+y||_2 \le [/mm] (minkowski) [mm] ||x-z||_2 [/mm] + [mm] ||z-y||_2 [/mm] = [mm] ||A-B||_2 [/mm] + [mm] ||B-C||_2 [/mm] (in [mm] M(nxn,\IC)) [/mm] = d(A,B) + d(B,C)
Oder ist das jetzt zuviel hin und her zwischen den 2 Räumen?
Wie könnte man es denn sonst aufschreiben?
Zur b):
> hier würde ich auch eher so vorgehen: sei [mm]A_k[/mm] in [mm]M(n \times n, \mathbb{C})[/mm]
> konvergent gegen [mm]A = (a_{ij})[/mm], dann ist für alle [mm]i, j[/mm] die
> folge [mm]a_{ij}^{k}[/mm] konvergent gegen [mm]a_{ij}[/mm], denn:
>
> [mm]|a_{ij}^k - a_{ij}| = \sqrt{|a_{ij}^k - a_{ij}|^2} \leq \sqrt{ \sum_{\ell,m = 1}^n |a_{\ell m}^k - a_{\ell m}|^2} = d(A_k, A) \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
>
> die andere richtung sollte ähnlich gehen, da bekommt man
> vielleicht noch den konstanten faktor [mm]n^2[/mm] mithineien, der
> sollte aber nicht stören.
>
Ich komm mit der Rückrichtung nicht klar..
Ich muss zeigen: Wenn [mm] \forall [/mm] i,j : [mm] a_{ij}^{(k)} [/mm] konvergiert gegen [mm] a_{ij}, [/mm] so gilt auch [mm] A_k [/mm] konvergiert gegen A.
[mm] a_{ij}^{(k)} [/mm] konvergiert gegen [mm] a_{ij}
[/mm]
=> lim [mm] |a_{ij}^{(k)} -a_{ij}| [/mm] ->0
[mm] =>lim|A_k [/mm] - A | -> 0 weil es ja für jedes [mm] a_{ij} [/mm] gilt..
=> [mm] A_k [/mm] konvergiert gegen A
Kann man das so machen? Wahrscheinlich nicht.. ist viel zu kurz/schnell
Viele Grüße und danke schon mal für alles!
Damn
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:59 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo,
noch eine frage zur c)
z.zg.: [mm] ||AB||_2 \le ||A||_2 [/mm] * [mm] ||B||_2
[/mm]
A,B [mm] \in M(nxn,\IC) [/mm] kann man als a,b [mm] \in \IC^{n^2} [/mm] auffassen
=>
[mm] ||AB||_2 =\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}*b_{ij}|^2}(gilt [/mm] dieser Schritt überhaupt?????)
= [mm] \wurzel{\summe_{k=1}^{n}|a_k*b_k|^2} [/mm] in [mm] \IC^{n^2}
[/mm]
[mm] \le \summe_{k=1}^{n}|a_k*b_k|
[/mm]
(Höldersche Ungleichung) [mm] \le ||a||_2*||b||_2 [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{k=1}^{n}|a_k|^2}*\wurzel{\summe_{k=1}^{n}|b_k|^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^2}\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|b_{ij}|^2}
[/mm]
in [mm] M(nxn,\IC) [/mm] = [mm] ||A||_2 *||B||_2
[/mm]
Kann man das so machen?
Wäre echt glücklich über ne Antwort!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 02.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Hallo,
> noch eine frage zur c)
> z.zg.: [mm]||AB||_2 \le ||A||_2[/mm] * [mm]||B||_2[/mm]
>
> A,B [mm]\in M(nxn,\IC)[/mm] kann man als a,b [mm]\in \IC^{n^2}[/mm]
> auffassen
> =>
> [mm]||AB||_2 =\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}|a_{ij}*b_{ij}|^2}(gilt[/mm]
> dieser Schritt überhaupt?????)
nein, das muss eine ganz normale matrixmultiplikation sein. habe jetzt lier keine zeit mehr, vielleicht hilft dir noch jemand anders weiter...
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
seufz*
Ich habe jetzt AB ausmultipliziert.. ||AB|| komplett alle Summanden rausgezogen
und ||A||*||B|| komplett ausmultipliziert..
dann "sieht" man, wenn man es ganz scharf anguckt, dass bei ||A||*||B|| viel mehr Summanden unter der Wurzel stehen..
also füg ich diese Summanden einfach hinzu..mache ein größergleich dahin..und voila..
Aber diese Variante ist sehr unübersichtlich und absolut gar nicht schön!
Deswegen würde ich mich sehr über weitere Tipps freuen.
Denn damit bin ich nicht zufrieden :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 04.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 02.06.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> d(A,C) = [mm]||A-C||_2[/mm] =
> [mm]\wurzel{\summe_{j,i=1}^{n}|a_{ij}-c_{ij}|^2}[/mm]
> Nun kann man A, C und B auch als Elemente in [mm]\IC^{n^2}[/mm]
> auffassen. (in dem man alle Einträge in eine Spalte
> schreibt) nennen wir A in dieser Form x, C y und B z.
> =>
> d(A,C) = [mm]||A-C||_2[/mm] (in [mm]M(nxn,\IC))[/mm] = [mm]||x-y||_2[/mm] (in
> [mm]\IC^{n^2}))[/mm]
> = [mm]||x-z+z+y||_2 \le[/mm] (minkowski) [mm]||x-z||_2[/mm] + [mm]||z-y||_2[/mm] =
> [mm]||A-B||_2[/mm] + [mm]||B-C||_2[/mm] (in [mm]M(nxn,\IC))[/mm] = d(A,B) + d(B,C)
prinzipiell kann man das schon in der richtung machen. ich würde einfach einen [mm] $\mathhb{C}$-vektorraumisomorphismus [/mm] $f: M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C}) \longrightarrow \mathbb{C}^{n^2}$ [/mm] angeben, wofür [mm] $\|A\| [/mm] = [mm] \|f(A)\|$ [/mm] für jedes $A$ gilt (den hast du ja in worten schon beschrieben). dann ist mit der einen abbildung auch die andere eine norm oder man kann einfach die beweise für $M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \mathbb{C})$ [/mm] imitieren.
> Zur b):
> > hier würde ich auch eher so vorgehen: sei [mm]A_k[/mm] in [mm]M(n \times n, \mathbb{C})[/mm]
> > konvergent gegen [mm]A = (a_{ij})[/mm], dann ist für alle [mm]i, j[/mm] die
> > folge [mm]a_{ij}^{k}[/mm] konvergent gegen [mm]a_{ij}[/mm], denn:
> >
> > [mm]|a_{ij}^k - a_{ij}| = \sqrt{|a_{ij}^k - a_{ij}|^2} \leq \sqrt{ \sum_{\ell,m = 1}^n |a_{\ell m}^k - a_{\ell m}|^2} = d(A_k, A) \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
>
> >
> > die andere richtung sollte ähnlich gehen, da bekommt man
> > vielleicht noch den konstanten faktor [mm]n^2[/mm] mithineien, der
> > sollte aber nicht stören.
> >
> Ich komm mit der Rückrichtung nicht klar..
> Ich muss zeigen: Wenn [mm]\forall[/mm] i,j : [mm]a_{ij}^{(k)}[/mm]
> konvergiert gegen [mm]a_{ij},[/mm] so gilt auch [mm]A_k[/mm] konvergiert
> gegen A.
>
> [mm]a_{ij}^{(k)}[/mm] konvergiert gegen [mm]a_{ij}[/mm]
> => lim [mm]|a_{ij}^{(k)} -a_{ij}|[/mm] ->0
> [mm]=>lim|A_k[/mm] - A | -> 0 weil es ja für jedes [mm]a_{ij}[/mm] gilt..
warum? das sollte man genauer begründen.
> => [mm]A_k[/mm] konvergiert gegen A
mach das (und am besten auch die andere richtung) mit einem epsilon-n-argument. sei also epsilon größer null und $N$ so gross, dass für alle $i, j$ und alle $k > N$ gilt [mm] $|a_{ij}^k [/mm] - [mm] a_{i,j}| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon^2}{n^2}$ [/mm] (warum geht das?) und schätze dann [mm] $d(A^k, [/mm] A)$ damit ab.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:22 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
so noch ein Versuch für die Rückrichtung:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a_{ij}^k -a_{ij}| \le \varepsilon/n^2
[/mm]
[mm] d(A_k,A) [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{l,m=1}^{n}|a_{lm}^k -a_{lm}|^2} \le \summe_{l,m=1}^{n}|a_{lm}^k -a_{lm}| \le n^2 [/mm] * max { [mm] |a_{lm}^k [/mm] - [mm] a_{lm}|: 1\le [/mm] l,m [mm] \le [/mm] n } < [mm] n^2 [/mm] * [mm] \varepsilon/n^2 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich hoffe das geht einigermaßen
Danke für die ganze Hilfe..!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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