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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mo 26.11.2007 | | Autor: | MepH |
| Aufgabe | Sei X unendliche Menge. Für p [mm] \in [/mm] X und q [mm] \in [/mm] X definiere
[mm] A=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \mbox p { \not= q} \\ 0, & \mbox{für } \mbox p { =q} \end{cases}
[/mm]
Man beweise, dass dies eine Metrik ist. Welche Teilmengen des resultierenden metrischen Raumes sind offen? Welche sind abgeschlossen? Welche sind Kompakt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also zu beweisen, dass das eine Metrik ist, ist kein Problem, sind ja nur die 4 Axiome zu beweisen.
Als metrischen Raum hab ich nun doch unendlich viele Elemente, die den Abstand 1 voneinander haben. Wie kann ich nun zeigen, welche Elemente eine offene Teilmenge, eine abgeschlossene, etc. bilden? Ich kann mir das irgendwie garnicht vorstellen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke im Voraus
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Die mEtrik ist die diskrete Metrik. Die zugehoerige Topologie ist die diekrete Topologie. In ihr sind alle Teilmengen offene Mengen. Beispiel: [mm] $X=\IZ$. [/mm] Der (offene) Normball [mm] $B_1(x)$ [/mm] enthaelt nur $x$. Die Vereinigung von offenen Mengen ist wieder offen. Die abgeschlossene Mengen sind die komplemente der offenen Mengen, also wieder Teilmengen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 26.11.2007 | | Autor: | MepH |
Hallo,
danke zwar für deine Hilfe, aber ich fürchte, das hilft mir momentan nicht weiter. Wie kann ich denn irgendwelche Teilmengen zusammenfassen oder spezifizieren, ich habe ja nur generell den metrischen Raum X gegeben, in dem alle Elemente den Abstand 1 haben. Wenn bei dieser Metrik alle Teilmengen offen sind, wie kann ich dann die abgeschlossenen Teilmengen bestimmen?
Falls jemand versteht, was ich meine, helft mir bitte :)
Danke im Voraus für jegliche Hilfeversuche.
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> Hallo,
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> danke zwar für deine Hilfe, aber ich fürchte, das hilft mir
> momentan nicht weiter. Wie kann ich denn irgendwelche
> Teilmengen zusammenfassen oder spezifizieren, ich habe ja
> nur generell den metrischen Raum X gegeben, in dem alle
> Elemente den Abstand 1 haben. Wenn bei dieser Metrik alle
> Teilmengen offen sind, wie kann ich dann die
> abgeschlossenen Teilmengen bestimmen?
>
> Falls jemand versteht, was ich meine, helft mir bitte :)
> Danke im Voraus für jegliche Hilfeversuche.
Zunächst: weshalb ist bei dieser Metrik jede Teilmenge von $X$ offen? - Weil alle Mengen [mm] $\{x\}$, [/mm] für beliebiges [mm] $x\in [/mm] X$, offen sind: denn diese Mengen sind gleich ihren [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] für genügend kleines [mm] $\varepsilon$, [/mm] etwa für [mm] $\varepsilon:= \tfrac{1}{2}$: [/mm] also offen. Weiter: jede Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ des Gesamtraumes $X$ ist eine Vereinigung von solchen offenen Mengen [mm] $A=\bigcup_{x\in A}\{x\}$, [/mm] also offen.
Die abgeschlossenen Mengen [mm] $\overline{A}$ [/mm] eines topologischen bzw. hier metrischen Raumes sind die Komplemente offener Mengen: d.h. [mm] $X\backslash\overline{A}$ [/mm] ist offen. Da jede Teilmenge von $X$ eine offene Menge ist, ist auch jede Teilmenge von $X$ das Komplement einer offenen Menge bezüglich $X$, also abgeschlossen.
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