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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mi 28.10.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei (V,<,>) ein euklidischer (oder unitärer) Vektorraum. Für zwei Vektoren a,b [mm]\in[/mm] V ist der Abstand d(a,b) von a und b definiert als [mm]d(a,b) = \parallel b-a \parallel[/mm].
Zeige: Sind [mm]a,b,c \in V[/mm] mit [mm](c-a) \perp (c-b)[/mm], so ist [mm]d(a,b)^2 = d(a,c)^2 + d(b,c)^2[/mm] |
Nun, grundlegend ist ja bekannt, dass [mm]d(a,b) = \parallel b-a \parallel = \parallel (b-c) + (c-a) \parallel \le \parallel b-c \parallel + \parallel c-a \parallel = d(b,c) + d(a,c)[/mm]
Quadriert man die linke Seite der Ungleichung, ist das unspektakulär.
Quadriert man hingegen die rechte Seite erhält man: [mm](d(b,c) + d(a,c))^2 = d(b,c)^2 + d(a,c)^2 + 2(d(a,c) \cdot d(b,c))[/mm]
Nun sollte man das über das Produkt der Abstände (bzw. Normen (bzw. Skalarprodukte)) soweit umformen können, dass man [mm]2(d(a,c) \cdot d(b,c)) = 0[/mm] erhält (und dazu sollte man die Orthogonalität gut ausnutzen können).
Behauptung: [mm]d(a,c) \cdot d(b,c) = 0[/mm]
[mm]d(a,c) \cdot d(b,c) = \parallel c-a \parallel \cdot \parallel c-b \parallel = \sqrt{ \cdot } \ge = 0[/mm] (Cauchy-Schwarz + Orthogonalität)
Für die Gleichheit (in der Ungleichung) muss ich nun noch zeigen, dass die Vektoren (c-b) und (c-a) linear abhängig sind. Dafür gilt es eine nicht-triviale Gleichung für das folgende System zu finden:
[mm]\summe_{i=1}^{n} {\lambda_i(c_i - a_i) + \mu_i (c_i - b_i)} = 0[/mm]
Eine lineare Abhängigkeit sehe ich allerdings schon aus grundlegenden Überlegungen heraus nicht gegeben... geschweige denn dass ich mit dieser Gleichung weiterkommen würde. Ich fürchte ich hab mich da in was verrannt. :-/
Hat jemand den Durchblick? 
Schöne Grüße und vielen Dank im Voraus,
Tobias
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Hiho,
> Ich fürchte ich hab mich da in was verrannt. :-/
Jop, machs einfacher:
Es soll ja gelten:
$ [mm] d(a,b)^2 [/mm] = [mm] d(a,c)^2 [/mm] + [mm] d(b,c)^2 [/mm] $
also:
[mm] $||a-b||^2 [/mm] = [mm] ||a-b||^2 [/mm] + [mm] ||b-c||^2$
[/mm]
Stupide Umformen, umformen, umformen.
Bilinearität des Skalarprodukts ausnutzen, Symetrie des Skalarprodukts ausnutzen.
.
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.
$<c-a,c-b> = 0$
Fertig.
Versuchs mal alleine umzuformen bis dahin.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 28.10.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Was bringt es mir denn, von dem was ich zeigen muss zurückzuformen auf eine Bedingung die ich schon kenne?
Zudem ist das Skalarprodukt nicht zwingend symmetrisch, sondern symmetrisch oder hermitesch, da wir uns im euklidischen (oder unitären) Vektorraum befinden.
> Es soll ja gelten:
>
> [mm]d(a,b)^2 = d(a,c)^2 + d(b,c)^2[/mm]
Wie gesagt, das soll nicht gelten, das ist zu zeigen. 
> .
> .
> [mm] = 0[/mm]
Das hingegen ist bereits bekannt und muss ja gelten, da die beiden Vektoren orthogonal sein sollen.
Insofern hilft mir das gerade irgendwie so gar nicht weiter?
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Hiho,
> Was bringt es mir denn, von dem was ich zeigen muss
> zurückzuformen auf eine Bedingung die ich schon kenne?
nein, dann hast du den Beweis nicht verstanden.
Du zeigst durch die Umformung, dass:
[mm]d(a,b)^2 = d(a,c)^2 + d(b,c)^2[/mm]
gilt, gdw das
[mm] = 0[/mm] gilt.
Und genau das ist das, was du zeigen sollst.
> Zudem ist das Skalarprodukt nicht zwingend symmetrisch,
> sondern symmetrisch oder hermitesch, da wir uns im
> euklidischen (oder unitären) Vektorraum befinden.
Dann solltest du das berücksichtigen, der Beweis läuft allerdings analog.
> Wie gesagt, das soll nicht gelten, das ist zu zeigen.
Nein, das soll gelten wenn das
> > [mm] = 0[/mm]
Gilt, und genau das machst du.
Du zeigst, es gilt, wenn deine Bedingung erfüllt ist.
MFG,
Gono.
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