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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:57 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Moin Leute muss folgende Aufgabe lösen hoffe ihr könnt mir behilflich sein
Ein Produzent kann aus Mengen [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] > 0 der Güter 1 und 2 als Input einen Output z herstellen, dessen Mehge gegeben ist durch die Produktionsfunktion z = f ( [mm] x_{1}, x_{2}) [/mm] := [mm] x_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{x_2}
[/mm]
Bei der Produktion ist als Nebenbedingung die Gleichung
[mm] x_{1}^2 [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] = 54 zu beachten.
Finden Sie mit Hilfe der Methode von Lagrange den maximalen Output zmax
Lösung:
[mm] x_{1}+ \wurzel{x_2}= [/mm] Max [mm] NB:x_{1}^2 [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] = 54
F [mm] (x_{1},x_{2}, \lambda)= x_{1} [/mm] + [mm] \wurzel{x_2}+ \lambda( x_{1}^2 [/mm] + 2 [mm] x_{2}-54)
[/mm]
F [mm] x_{1}= [/mm] 1+ 2 [mm] \lambda x_{1} [/mm] = 0 durch Umformung bekomme ich dann [mm] \lambda= -\bruch{1}{2 x_{1}} [/mm] ist das so richtig???
F [mm] x_{2}= \bruch{1}{2} x_{2}hoch [/mm] minus [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + 2 [mm] \lambda [/mm] nun setze ich [mm] \lambda [/mm] ein was ich oben ja herausgekriegt habe und nun fängt es an zu hapern komme dann durch Umformungen auf [mm] \bruch{1}{ 2\wurzel{x_{2}}}=\bruch{1}{x_{1}} [/mm] und das kann ich nicht mehr auflösen auf nach [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] auflösen wo habe ich einen Fehler gemacht??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Sa 05.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Moin Leute muss folgende Aufgabe lösen hoffe ihr könnt mir
> behilflich sein
>
> Ein Produzent kann aus Mengen [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] > 0 der Güter
> 1 und 2 als Input einen Output z herstellen, dessen Mehge
> gegeben ist durch die Produktionsfunktion z = f ( [mm]x_{1}, x_{2})[/mm]
> := [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\wurzel{x_2}
[/mm]
>
> Bei der Produktion ist als Nebenbedingung die Gleichung
> [mm]x_{1}^2[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] = 54 zu beachten.
>
> Finden Sie mit Hilfe der Methode von Lagrange den maximalen
> Output zmax
>
> Lösung:
> [mm]x_{1}+ \wurzel{x_2}=[/mm] Max [mm]NB:x_{1}^2[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] = 54
> F [mm](x_{1},x_{2}, \lambda)= x_{1}[/mm] + [mm]\wurzel{x_2}+ \lambda( x_{1}^2[/mm]
> + 2 [mm]x_{2}-54)
[/mm]
> F [mm]x_{1}=[/mm] 1+ 2 [mm]\lambda x_{1}[/mm] = 0 durch Umformung bekomme
> ich dann [mm]\lambda= -\bruch{1}{2 x_{1}}[/mm] ist das so
> richtig???
> F [mm]x_{2}= \bruch{1}{2} x_{2}hoch[/mm] minus [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + 2
> [mm]\lambda[/mm] nun setze ich [mm]\lambda[/mm] ein was ich oben ja
> herausgekriegt habe und nun fängt es an zu hapern komme
> dann durch Umformungen auf [mm]\bruch{1}{ 2\wurzel{x_{2}}}=\bruch{1}{x_{1}}[/mm]
> und das kann ich nicht mehr auflösen auf nach [mm]x_{1}, x_{2}[/mm]
> auflösen wo habe ich einen Fehler gemacht??
Hallo Dennis
Du hast keinen Fehler gemacht, du hast aber immer noch die Nebenbedingung [mm] $x_{1}^2+2x_{2}=54$ [/mm] zu beachten, damit hast du zwei Gleichungen für [mm] $x_1,x_2$ [/mm] und alles lässt sich auflösen.
mfG Moudi
>
> Danke
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo kannst du mir dann bitte zeigen wie du dann
$ [mm] \bruch{1}{ 2\wurzel{x_{2}}}=\bruch{1}{x_{1}} [/mm] $ auf [mm] x_{1} [/mm] oder
[mm] x_{2} [/mm] bringst weil es geht nicht habe alles probiert die Gleichung lässt sich nicht auflösen ich muss doch z.B [mm] x_{1}^2= x_{2} [/mm] so etwas in der Art als Ergebnis kriegen die ich dann in die Nebenbedingung einsetzen kann damit ich [mm] x_{2} [/mm] herauskrige, aber bei dieser Aufgabe geht das nicht mit der Gleichung also muss ich doch was falsch machen, bitte kannst du die Aufgabe vielleicht nachrechen und mit Ergebnis hier reinposten wäre sehr nett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 05.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo kannst du mir dann bitte zeigen wie du dann
>
> [mm]\bruch{1}{ 2\wurzel{x_{2}}}=\bruch{1}{x_{1}}[/mm] auf [mm]x_{1}[/mm]
Nimm auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert und du erhältst
[mm] $2\sqrt{x_2}=x_1$.
[/mm]
Das kannst du in die Nebenbedingung einsetzen und nach [mm] $x_2$ [/mm] auflösen.
mfG Moudi
> oder
> [mm]x_{2}[/mm] bringst weil es geht nicht habe alles probiert die
> Gleichung lässt sich nicht auflösen ich muss doch z.B
> [mm]x_{1}^2= x_{2}[/mm] so etwas in der Art als Ergebnis kriegen die
> ich dann in die Nebenbedingung einsetzen kann damit ich
> [mm]x_{2}[/mm] herauskrige, aber bei dieser Aufgabe geht das nicht
> mit der Gleichung also muss ich doch was falsch machen,
> bitte kannst du die Aufgabe vielleicht nachrechen und mit
> Ergebnis hier reinposten wäre sehr nett
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Moudi wenn ich so verfahre wie du sagst dann bekomme ich zwar [mm] x_{1} [/mm] aber ich brauche doch siehe Nebenbedingung [mm] x_{1}^2, [/mm] und wenn ich bei der Gleichung $ [mm] 2\sqrt{x_2}=x_1 [/mm] $ auf beiden Seiten mit [mm] x_{1} [/mm] multipliziere dann funktioniert es doch wieder nicht, habe ich wieder irgendwo einen Denkfehler bitte wäre sehr erfreut über eine Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Moudi ich war wohl zu schnell bin jetzt selber auf die Lösung gekommen und auch die Probe stimmt zmax ist 9, nochmals vielen Dank
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