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| Aufgabe | Berechnen Sie die Gerade y=a+bx, für die die Funktion
[mm] f(a,b)=\summe_{i=1}^{n}(y_k-a-bx_k)^2,
[/mm]
minimal wird. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=125413&start=0#p922800
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe trotz Zahlreicher Tipps nciht weiter. Ich habe sie mal vorgerechnet, und hoffe das mir jemand hier dabei helfen kann.
[mm] f(a,b)=\summe_{k=1}^{n}(y_k-a-bx_k)^2
[/mm]
(1) [mm] diff(f,a)=\summe_{i=1}^{n}(2a+2bx_k-2y_k)
[/mm]
(2) [mm] diff(f,b)=\summe_{i=1}^{n}(2ax_k+2bx_k^2-2y_k*x_k)
[/mm]
Jetzt (1) Null setzen und nach a auflösen:
[mm] 2an+\summe_{k=1}^{n}(2bx_k-2y_k)=0
[/mm]
[mm] <=>a=\summe_{k=1}^{n}(y_k-bx_k)/n
[/mm]
Jetzt (2) Null setzen und nach a auflösen:
[mm] 2an*\summe_{k=1}^{n}x_k+\summe_{k=1}^{n}(2bx_k^2-2y_k*x_k)=0
[/mm]
[mm] <=>a=\summe_{k=1}^{n}((y_k*x_k-bx_k^2)/\summe_{k=1}^{n}(x_k)
[/mm]
Jetzt muss b so bestimmt werden, dass beide a gleich sind:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(y_k*x_k-bx_k^2)/\summe_{k=1}^{n}x_k=\summe_{k=1}^{n}(y_k-bx_k)/n
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich das nach b auflösen?
Wenn [mm] x_k [/mm] != 0 ist müsste die Lösung doch [mm] b=y_k/x_k [/mm] sein, oder?
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Hallo Quadrupel,
> Berechnen Sie die Gerade y=a+bx, für die die Funktion
> [mm]f(a,b)=\summe_{i=1}^{n}(y_k-a-bx_k)^2,[/mm]
> minimal wird.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=125413&start=0#p922800
>
> Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe trotz Zahlreicher Tipps
> nciht weiter. Ich habe sie mal vorgerechnet, und hoffe das
> mir jemand hier dabei helfen kann.
>
> [mm]f(a,b)=\summe_{k=1}^{n}(y_k-a-bx_k)^2[/mm]
>
> (1) [mm]diff(f,a)=\summe_{i=1}^{n}(2a+2bx_k-2y_k)[/mm]
> (2) [mm]diff(f,b)=\summe_{i=1}^{n}(2ax_k+2bx_k^2-2y_k*x_k)[/mm]
>
> Jetzt (1) Null setzen und nach a auflösen:
> [mm]2an+\summe_{k=1}^{n}(2bx_k-2y_k)=0[/mm]
> [mm]<=>a=\summe_{k=1}^{n}(y_k-bx_k)/n[/mm]
Das b kannst Du aus der Summe herausziehen:
[mm]\gdw a=\bruch{\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)-b*\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}\right)}{n}[/mm]
>
> Jetzt (2) Null setzen und nach a auflösen:
>
> [mm]2an*\summe_{k=1}^{n}x_k+\summe_{k=1}^{n}(2bx_k^2-2y_k*x_k)=0[/mm]
>
> [mm]<=>a=\summe_{k=1}^{n}((y_k*x_k-bx_k^2)/\summe_{k=1}^{n}(x_k)[/mm]
>
> Jetzt muss b so bestimmt werden, dass beide a gleich sind:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(y_k*x_k-bx_k^2)/\summe_{k=1}^{n}x_k=\summe_{k=1}^{n}(y_k-bx_k)/n[/mm]
>
> Und hier komme ich nicht weiter. Wie kann ich das nach b
> auflösen?
Das b kannst Du, wie oben beschrieben, aus der Summe herausziehen.
> Wenn [mm]x_k[/mm] != 0 ist müsste die Lösung doch [mm]b=y_k/x_k[/mm] sein,
> oder?
>
Gruss
MathePower
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[mm] \bruch{\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}*x_k\right)-b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)}{\summe_{k=1}^{n}x_k}=\bruch{\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)-b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}\right)}{n}
[/mm]
Hallo, danke für die Antwort. Also war mein Ergebnis falsch. Aber wie soll ich jetzt nach b auflösen? Ich habe wirklich keine Idee. Auf diese Weise habe ich noch nicht mit Summen gerechnet, ich versuche schon seit Wochen das zu lösen. Ich habe das Gefühl es scheitert an was einfachem aber ich komme einfach nciht dahinter.
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Hallo Quadrupel,
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> [mm]\bruch{\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}*x_k\right)-b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)}{\summe_{k=1}^{n}x_k}=\bruch{\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)-b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}\right)}{n}[/mm]
>
> Hallo, danke für die Antwort. Also war mein Ergebnis
> falsch. Aber wie soll ich jetzt nach b auflösen? Ich habe
> wirklich keine Idee. Auf diese Weise habe ich noch nicht
> mit Summen gerechnet, ich versuche schon seit Wochen das zu
> lösen. Ich habe das Gefühl es scheitert an was einfachem
> aber ich komme einfach nciht dahinter.
Jetzt ist zweckmäßig die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner durchzumultiplizieren.
Bringe dann alles was mit b zu tun hat auf eine Seite,
und den Rest auf die andere Seite.
Dann kannst Du das b berechnen.
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\cdot{}x_k\right)*n-\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)*\summe_{k=1}^{n}x_k=-b*\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}\right)} *\summe_{k=1}^{n}x_k+b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)*n}$
So. Und wie hilft mir das? Weiter ausmultiplizieren? Gibt es dafür dann eine Formel? Oh man, wieso komme ich nicht drauf...
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Hallo Quadrupel,
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> [mm]\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\cdot{}x_k\right)*n-\left(\summe_{k=1}^{n}y_{k}\right)*\summe_{k=1}^{n}x_k=-b*\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}\right)} *\summe_{k=1}^{n}x_k+b\cdot{}\left(\summe_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)*n}[/mm]
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> So. Und wie hilft mir das? Weiter ausmultiplizieren? Gibt
> es dafür dann eine Formel? Oh man, wieso komme ich nicht
> drauf...
Fasse die rechte Seite zusammen, so daß Du das b ausklammern kannst.
Sorge dann dafür, daß das b alleine steht.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Quadrupel |
Wow, vielen Dank. Ich sitze hier schon den ganzen Tag an meinen Vorbereitungen, dass mein Gehirn wohl nix mehr selbst hinbekommt. Jetzt habe ich diesen hässligen Bruch mit 6 Summen als Ergebnis, wer hätte das gedacht.
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