Methode der kleinsten Quadrate < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:13 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin Moin. :)
Ich hab ein mega Problem und zwar muss ich Montag eine Ausarbeitung abgeben, welche zum Teil auch über Regression handelt.
Somit habe ich mir hier ein Video rausgesucht, welches diese erklärt, doch ich verstehe beim besten Willen nicht, weshalb dort abgeleitet wird!!
Leitet man eine Gerade ab, so entsteht doch eine Gerade auf der X-Achse, somit ist bei jedem X-Wert Y=0! Seh ich doch richtig oder??
Wäre toll wenn ihr mir da helfen könntet!
Hier das Video:
http://www.youtube.com/watch?v=Y6Jcr2DfY0M
Liebe Grüße, Dominik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Sa 05.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
formuliere Deine Frage doch mal mathematisch. Das musst Du für Deinen Vortrag ja sowieso. Also was hast Du verstanden und was nicht. Ich gehe mal davon aus das Du was über lineare Regression erzählen möchtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
Verstanden habe ich folgendes:
Man sucht den minimalsten Abstand zwischen der Ausgleichsgraden (sofern man sie so nennt) und allen Werten/Punkten. Hierfür summiert man all diese Abstände.
Zur Lösung des Vorzeichenproblems quadrieren wir nun noch die Abstände, und ziehen danach die Wurzel um den Wert der Abstände zu erhalten.
f(m)= [mm] \wurzel{ \summe_{i=1}^{n} (Y_{von Punkt}-Y_{von Ursprungsgerade})^{2} }
[/mm]
Nun benötigen wir einen Abhängigkeitsoperator, um die Summe gegen 0 zu bringen. Hierfür setzen wir für die Y-Koordinate der Ursprungsgeraden die Formel der Ursprungsgeraden ein. (u(x)=mx)
Somit erhalten wir einen Ausdruck, welcher von m abhängt.
Der Ausdruck sieht im Moment wie folgt aus:
f(m)= [mm] \wurzel{ \summe_{i=1}^{n} (Y_{von Punkt}-mx_{X-Wert des Punktes}^{2} }
[/mm]
Um den Ausdruck f(m) nun minimal werden zu lassen, heißt die Summe der Abstände zu minimieren, soll man f(m) ableiten und dann f'(m) = 0 setzen.
Diesen Teil (rot) kann ich nicht mehr nachvollziehen. Wofür leitet man ab? Nach meinem Verständnis müsste man doch eigentlich f(m) ableiten um die Summe gegen 0 zu bringen.
Zum Video: http://www.youtube.com/watch?v=Y6Jcr2DfY0M
P.S.: Danke für deine schnelle Antwort. Will nicht unverschämt klingen, aber hoffe das geht jetzt wieder so schnell. Ist echt dringend. :s
LG, Dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Sa 05.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde es wie folgt machen.
Sei
(1) [mm] y(x)=m\cdot{x}+b [/mm] eine Gerade
und [mm] (x_i,y_i) [/mm] i=1, .. n Messwerte von denen man annimmt, sie liegen näherungsweise auf dieser Geraden. Durch einsetzten der Punkte in die Geradengleichung bekommt man n Gleichungen
(2) [mm] y_i=m\cdot{x_i}+b+\epsilon_i [/mm] wobei [mm] \epsilon_i [/mm] die Abweichung der Punkte [mm] (x_i,y_i) [/mm] von der Geraden beschreibt.
Gesucht sind nun die beiden Geradenparameter m und b und zwar so, das die Abweichungen der Punkte von der Geraden minimal werden. Als Kriterium für die Abweichung der Punkte von der Geraden benutzt man die Summe der quadrierten Einzelfehler [mm] \epsilon_i
[/mm]
Das Kriterium lautet also
[mm] J(m,b)=\summe_{i=1}^{n}\epsilon_i^2 [/mm] -> Minimal
Die Funktion J(m,b) wird minimal, wenn die partiellen Ableitungen nach m und b Nulll werden. Also
(3) [mm] \bruch{\partial}{\partial{m}}J(m,b)=0 [/mm] und
(4) [mm] \bruch{\partial}{\partial{b}}J(m,b)=0
[/mm]
Für [mm] \epsilon_i [/mm] wird jetzt entsprechend (2) [mm] \epsilon_i=y_i-m\cdot{x_i}-b [/mm] eingesetzt.
Die Funktion J(m,b) lautet also jetzt ausgeschrieben
[mm] J(m,b)=\summe_{i=1}^{n}\left[y_i-m\cdot{x_i}-b\right]^2 [/mm]
Jetzt also (3) und (4) berechnen, Null setzten und nach m und b auflösen, dann ist das lineare Ausgleichsproblem gelöst.
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
Okai also wenn ich mit dem Lösungsansatz des Videos nicht weiter komme, werde ich es so versuchen. Vielen dank dafür schonmal.
Allerdings besteht meine eigentliche Frage darin, warum IN DEM VIDEO abgeleitet wurde. Heißt welchen mathematischen Hintergrund und sinn diese Ableitung hat.
Ich fand an sich diese Lösung nämlich ganz schön und leicht verständlich. Durch die von ihnen steig ich bisher noch nicht ganz durch...
LG Dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dominik,
bei dieser Methode minimiert man den Abstand zwischen einer von Dir vorgegebenen Funktion, das muss keine Gerade sein, kann es aber, und den Messwerten die Du hast. (siehe Zeitcode 4:20) Eine Minimierung solch einer Funktion funktioniert über die Ableitung des Ausdruckes, der Dir die Differenz zwischen Deinen Messwerten und Deiner Funktion wiedergibt. Eine Funktion, und das ist hier die Differenzfunktion, nicht, ich wiederhole nicht, die von Dir angesetzte Ausgleichsgerade, ist dann minimal, wenn ihre Ableitung sich zu Null ergibt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 05.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
die im Video vorgestellte Lösung ist lediglich ein Spezialfall von der von mir vorgestellten Lösung. Die Gerade im Video geht durch den Ursprung (y(x)=m*x Geradengleichung im Video), also durch den Koordinatenursprung. Im allgemeinen geht eine Gerade aber nicht durch den Ursprung sondern schneidet die y-Achse an einem beliebigen Punkt. Da die Gerade durch den Ursprung geht ist auch nur ein Parameter zu bestimmen, nämlich die Steigung m.
Da nur ein Parameter zu bestimmen ist, muss man auch nicht die partiellen Ableitungen bilden sondern nur die normale Ableitung. Die Ableitung bildet man deswegen und bestimmt die Nullstellen dieser Ableitung, weil diese Stellen gerade die Extremwerte der Funktion sind, also entweder Maximum oder Minimum, jenachdem wie die zweite Ableitung aussieht.
Ich würde mich aber nicht auf dieses Video komplett abstützen, da wie gesagt hier nur ein Spezialfall der Ausgleichsgeraden behandelt wird, nämlich nur eine Gerade durch den Ursprung. Versuch mal das durchzuarbeiten was ich Dir geschrieben habe. Bei Unklarheiten kannst Du ja nochmal nachfragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 06.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
Oke danke erstmal euch beiden :)
@ ullim:
Okai jetzt hab ich das mit der Ableitung verstanden, und dann werd ich das von ihnen mal durcharbeiten. Bei Fragen melde ich mich dann nochmal. ;)
Vielen Dank & Liebe Grüße Dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 06.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
[mm] y_i=m*x_i+b+[red]\varepsilon_{i}[/red]
[/mm]
Wie kommt man auf das rot unterlegte "E"? Wo kommt es her und Welche Rolle spielt es nun in dieser Gleichung?
Liebe Grüße Dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 06.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dominik,
dieser Term beschreibt gerade die Abweichung in der y-Koordinate zwischen Deinem Messpunkt und der Ausgleichsgeraden. Wenn so eine Gerade nicht gerade durch einen Messpunkt geht, werden sich so die Abweichungen aufaddieren, aber man möchte diesen Term möglichst klein halten. Es ist die Größe, die ich mit "Abstand" bezeichnet habe in meinem Thread.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 So 06.05.2012 | | Autor: | Alzebra |
So gut jetzt hab ich (bisher) wirklich alles verstanden.
Vielen dank euch beiden. Ihr habt mir wirklich sehr geholfen. :)
Viele liebe Grüße
Dominik
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