Methode der kleinsten Quadrate < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe zur "Methode der kleinsten Quadrate" nichts gefunden, was mir weiterhilft. Dabei ist die Sache vermutlicherweise einfach, aber so wie's im Bärwolff steht blick ich das nicht. Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie die Ausgleichskurvecder Art [mm] y = ax + b [/mm] von folgender Messreihe:
[mm] x : 0 1 2 3 4 [/mm]
[mm] y : 1 4 7 8 10 [/mm]
wär nett, wenn mir jmd möglichst einfach sagen könnte, was man hier quadrieren und summieren muss.
danke
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Dank Dir Analytiker.
Nun, mir fällt eben dies, das Lesen von so allgemeinen Herleitungen recht schwer. Hab die Lösung mit Hilfe eines Beispiels gefunden:
[mm] a = \bruch {\summe_{i=1}^{5} (x_i- \bar x ) (y_i- \bar y) }{\summe_{i=1}^{5} (x_i- \bar x )^2} [/mm]
[mm] b = \bar y - a * \bar x [/mm]
Da ich aber das Prinzip dahinter nicht verstanden habe bin ich mit der nächsten Aufgabe direkt wieder aufgeschmissen, wo die Ausgleichskurve der Art [mm] y =a_0 + a_1 x + a_2 x^2 [/mm] sein soll
Gibts vllt nochmal einen Tipp zur Vorgehensweise? Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 24.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Da ich aber das Prinzip dahinter
> nicht verstanden habe bin ich mit der nächsten Aufgabe
> direkt wieder aufgeschmissen, wo die Ausgleichskurve der
> Art [mm]y =a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/mm] sein soll
> Gibts vllt nochmal einen Tipp zur Vorgehensweise? Danke
Vielleicht hilft dir das ![[]](/images/popup.gif) hier auf die Spruenge.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Do 24.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die Regressionsgerade mit der Gaußschen Methode der kleinsten Fehlerquadrate wird ausführlich und gut verständlich dargestellt in: L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Band III. Steht bestimmt in deiner Uni-Bibliothek.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Do 24.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das "Prinzip dahinter" ist eigentlich einfach: Grundannahme die Fehler der Messung sind zufällig verteilt, und zwar "normalverteilt". Wenn man nicht besseres weiss muss man sowas halt annehmen.
2. die x Werte sind genau, die y Werte mit diesem statistischen Fehler behaftet.
x.Werte etwa Zeit, y Werte die zu der Zeit gemessene Temperatur.
dann sucht man eine Kurve die die grösste Wahrscheinlichkeit hat.
Das zeichnet man sich am besten auf, also etwa eine wilde Ansammlung von daten und ne beliebige Gerade da durch.
Die Analyse zeigt dann, wenn die Summe der Quadrate der Abweichungen der Mess werte von der Kurve am kleinsten ist, habe ich das Optimum erreicht.
(mit Augenmaß würdest du die Gerade ja wohl auch so durchlegen, Wenn z. Bsp. alle Punkte oberhalb der Geraden liegen, fändest du sie falsch, sie würde besser ,wenn einige unterhalb liegen. Das wird einfach präzisiert. du hast die vermutete Gerade (oder Polynom) y=ax+b die Abstaände der Messpunkte (vertikal gemessen) von der Geraden sind [mm] y_i -(a*x_i+b)
[/mm]
Also will man [mm] \summe_{i=1}^{n}(y_i -(a*x_i+b))^2 [/mm] möglichst klein machen, dabei sind a,b die Variablen.
Wie man nen Extremwert von f(a,b) bestimmt solltest du wissen. Dei notwendige Bedingung ist df/da=0und df/db =0
Das kannst du selbst ableiten, oder den Büchern glauben, und kriegst ne Bedingung für a,b raus.
Das ist alles.
dasselbe gilt, wenn du statt y=ax+b [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] nimmst, dann hast du eben 3 Ableitungen die 0 sein müssen und bestimmst daraus a,b,c.
Und wenn dir das zu mühsam ist, entnimmst du die fertigen Formeln nem Buch, oder lässt ein programm deine Anpassung machen.
Gruss leduart
Gruss leduart
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