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| Aufgabe | Ich habe mal eine Verständnisfrage.
Sei [mm] $X\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] eine Borelmenge.
Wenn man dann eine Funktion
[mm] $\phi\colon X\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ [/mm] hat und sagt, dass diese messbar sei - bezüglich was meint man dann die Messbarkeit?? |
Also rechts meint man bestimmt als [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] die Borelsche, also [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}_{\geq 0})$.
[/mm]
Aber was meint man da bei der Menge X für eine [mm] $\sigma$-Algebra?
[/mm]
(Ich kannte bisher nur Funktionen, die auf Maßräumen definiert sind, wo man dann immer klar gesehen hat, bzgl. welcher [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] man die Messbarkeit meint. Das hier ist für mich neu, also dass man als Definitionsbereich eine messbare Menge nimmt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Do 01.08.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Deine Frage ist mir nicht ganz klar. Könntest du sie etwas konkretisieren?
Ganz einfach: was genau willst du wissen?
Gruß Thomas
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Hallo,
ich versuche es gerne!
Also wenn man von der Messbarkeit einer Funktion spricht, dann kenne ich das so, dass man zwei Maßräume hat und eben die Funktion, z.B.
[mm] $f\colon (\Omega_1,\mathfrak{U}_1)\to (\Omega_2,\mathfrak{U}_2)
[/mm]
und dann meint man [mm] $\mathfrak{U}_1 [/mm] - [mm] \mathfrak{U}_2$-Messbarkeit.
[/mm]
Eine andere Sprechweise, die ich kenne, ist, dass man sagt:
Das Urbild jeder messbaren Menge in [mm] $\mathfrak{U}_2$ [/mm] liegt in [mm] $\mathfrak{U}_1$.
[/mm]
Nun zu der aktuellen Aufgabe, da heißt es:
[mm] $f\colon X\to\mathbb{R}_{\geq 0}$ [/mm]
ist messbar - doch da habe ich jetzt nicht zwei Maßräume stehen, sondern "links" nur eine Borelmenge, d.h. genauer: eine Teilmenge von [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] die also in [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) [/mm] liegt und rechts die nicht-negativen reellen Zahlen.
Ich weiß nun nicht, wie man hier die Messbarkeit zu verstehen hat, also bezüglich welcher beiden [mm] $\sigma$-Algebren $\mathfrak{U}_1$ [/mm] und [mm] $\mathfrak{U}_2$.
[/mm]
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Also gut aus deiner Mitteilung bin ich schlauer geworden.
Ganz allgemein:
Seien A,B zwei beliebige Mengen. X sei [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf A. Y sei [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf B.
Eine Abbildung [mm] f:A\to [/mm] B heißt X-Y messbar falls:
[mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] Y: [mm] f^{-1}(M) \in [/mm] X gilt.
Überlege dir nun was dies für deine Mengen bedeutet.
Gruß Thomas
Ps: Dem [mm] \IR^{n} [/mm] kannst du intuitiv vermutlich eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] zuordnen oder?
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> Überlege dir nun was dies für deine Mengen bedeutet.
>
Ja, das ist doch genau mein Problem!
Dass ich nicht weiß, was hier die [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf der Menge X und auf [mm] $\mathbb{R}_{\geq 0}$ [/mm] sind!
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Achso: Die Spur-Sigma-Algebren?
Also auf X die Sigma-Algebra
ist wohl [mm] $\left\{X\cap B: B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right\}$.
[/mm]
und auf [mm] $\mathbb{R}_{\geq 0}$ [/mm] ist die Sigma-Algebra wohl
[mm] $\left\{\mathbb{R}_{\geq 0}\cap B: B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Fr 02.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Achso: Die Spur-Sigma-Algebren?
>
> Also auf X die Sigma-Algebra
>
> ist wohl [mm]\left\{X\cap B: B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\right\}[/mm].
Ja, und weil X selbst Borel-mb ist, ist dies gerade
[mm] \{A \subseteq X: A \in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}
[/mm]
>
> und auf [mm]\mathbb{R}_{\geq 0}[/mm] ist die Sigma-Algebra wohl
>
> [mm]\left\{\mathbb{R}_{\geq 0}\cap B: B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}[/mm].
Ja, und weil [mm] \mathbb{R}_{\geq 0} [/mm] selbst Borel-mb ist, ist dies gerade
[mm] \{C \subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}: C\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}
[/mm]
FRED
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