Meßbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega=B_1(0)\subset \mathbb{R}^2$ [/mm] und sei [mm] $u\colon\Omega\to\mathbb{R}, u(x)=\begin{cases}\lvert x\rvert^{\alpha}, & \mbox{ falls }\lvert x\rvert\neq 0\\0, & \mbox{ falls }\lvert x\rvert =0\end{cases}$
[/mm]
Meine Frage: Ist u meßbar für [mm] $\alpha [/mm] >-1?$ |
Ich habe es nicht herausfinden können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Also ich glaube, ich habe da was vergessen.
Also zu zeigen ist, dass [mm] $u\in L_{loc}^1(\Omega)$ [/mm] ist. |
Kann man das so machen:
Mit Polarkoordinaten hat man
[mm] $\int_{B_1(0)}u(x)\, dx=\int_{B_1(0)}\lvert x\rvert^{\alpha}\, dx=2\pi\int_0^1 r^{\alpha+1}\, [/mm] dr$ und das ist kleiner unendlich für [mm] $\alpha [/mm] >-2$.
Wenn man jetzt den Betrag von u(x) integriert, kommt doch das gleiche raus.
Also ist u(x) integrierbar und deswegen doch insbesondere messbar?
Also in [mm] $L^1(\Omega)$ [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] >-2$ und dann natürlich insbesondere in [mm] $L_{loc}^1(\Omega)$ [/mm] für [mm] $\alpha>-2$ [/mm] und das alles insbesondere dann auch für [mm] $\alpha [/mm] >-1$?
Ist das so korrekt?
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Hiho,
vorweg mal deinen größten Irrtum aufklären:
> Also ist u(x) integrierbar und deswegen doch insbesondere messbar?
Wie kommst du denn darauf? Damit du eine Funktion integrieren kannst, musst du doch erstmal sicherstellen, dass sie meßbar ist.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
So gibt es Lebesgue-meßbare Funktionen, deren Integral existiert, die aber nicht Borel-meßbar sind.
> Kann man das so machen:
Da wir nun sichergestellt haben, dass die Funktion meßbar ist, ja.
>
> Mit Polarkoordinaten hat man
>
> [mm]\int_{B_1(0)}u(x)\, dx=\int_{B_1(0)}\lvert x\rvert^{\alpha}\, dx=2\pi\int_0^1 r^{\alpha+1}\, dr[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
edit: Hier wäre vllt. noch eine Anmerkung sinnvoll, warum du den Fall $|x|=0$ bei der Berechnung des Integrals ignorieren kannst.
> und das ist kleiner unendlich für [mm]\alpha >-2[/mm].
Auch wenn du das Integral mal noch explizit ausschreiben könntest, dann sieht mans besser 
> Wenn man jetzt den Betrag von u(x) integriert, kommt doch das gleiche raus.
Ja, da u nichtnegativ ist.
> Also in [mm]L^1(\Omega)[/mm] für [mm]\alpha >-2[/mm] und dann natürlich insbesondere in [mm]L_{loc}^1(\Omega)[/mm] für [mm]\alpha>-2[/mm] und das alles insbesondere dann auch für [mm]\alpha >-1[/mm]?
MFG,
Gono.
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Hiho,
> Meine Frage: Ist u meßbar für [mm]\alpha >-1?[/mm]
beantworten wir erstmal diejenige hier: Ja natürlich. u ist stetig, bis auf endlich viele Sprungstellen, und damit meßbar.
Auf zur anderen Frage...
MFG;
Gono.
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