Messbarkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 13.08.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich habe mal eine vermeintlich einfache Frage.
Ich habe einen messbaren Raum [mm] $(\Omega,F)$ [/mm] und wähle für F die kleinste mögliche [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] also [mm] $F:=\left\{\Omega,\emptyset\right\}$.
[/mm]
Jetzt habe ich gelesen, dass in diesem Fall jede F-messbare Funktion konstant ist.
Wieso ist das so? |
Ich weiß leider keine Antwort darauf.
Also sei etwa [mm] $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] eine F-messbare Funktion. Wieso ist f dann konstant??
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Hallo,
nimm mal an, dass $F$ zwei verschiedene Werte [mm] $c_{1}$ [/mm] und [mm] $c_{2}$ [/mm] als Funktionswerte annimmt.
Überleg dir nun, was [mm] $F^{-1}(c_{1})$ [/mm] und [mm] $F^{-1}(c_{2})$ [/mm] unter beachtung der Messbarkeit der Funktion $F$ sein kann.
Kann dann [mm] $c_{1}\not=c_{2}$ [/mm] gelten?
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mo 13.08.2012 | | Autor: | mikexx |
Achso, ich glaube, ich verstehe.
Sei also [mm] $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] eine F-messbare Funktion.
Angenommen, dass f zwei Funktionswerte, nämlich [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] annimmt, und dass [mm] $f^{-1}(c_1)=\left\{\omega|f(w)=c_1\right\}=:Z$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(c_2)=\left\{\omega|f(\omega)=c_2\right\}=Z^C$
[/mm]
Dann wäre wegen der F-Meßbarkeit für alle [mm] $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$:
[/mm]
[mm] $f^{-1}(B)=\left\{\omega\in\Omega|f(w)\in B\right\}=\begin{cases}\Omega, & c_1\in B\wedge c_2\in B\\\emptyset, & c_1\notin B\wedge c_2\notin B\\Z, & c_1\in B\\Z^C, & c_2\in B\end{cases}$
[/mm]
Aber es sind ja nicht Z und [mm] $Z^C$ [/mm] in F. F ist ja kleiner.
Wenn f jedoch nur einen Wert annehmen kann, kommen als Urbilder für eine Borelmenge doch nur [mm] $\Omega$ [/mm] und die leere Menge in Frage, wie es sein soll.
Ist das so korrekt?
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Und noch eine kurze Frage:
Sei [mm] $T\colon\Omega\to\mathbb{R}, \omega\mapsto c_1\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Dann ist doch [mm] $F=\sigma(T)$ [/mm] - oder?
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Hallo mikexx,
> Ich bin ein bisschen verwirrt.
>
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> Also ich komme nur auf Folgendes.
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> Sei also [mm]f\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm] meßbar bezüglich F.
>
>
> Das bedeutet doch:
>
> [mm]f^{-1}(B)\in F~\forall~B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm].
>
>
> Es ist klar, dass dann [mm]f^{-1}(B)=\Omega[/mm].
Ja! Und für die 2 verschiedenen Funktionswerte [mm] $c_1,c_2$ [/mm] ebenso [mm] $f^{-1}(\{c_1\})=f^{-1}(\{c_2\})=\Omega$
[/mm]
Was bedeutet das denn?
Jedes [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] wird auf [mm] $c_1$ [/mm] und auf [mm] $c_2$ [/mm] abgebildet ...
Also ...
>
> Aber wieso daraus folgen soll, daß f nur EINEN Wert
> annehmen kann, sehe ich nicht...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Mo 13.08.2012 | | Autor: | mikexx |
Während Du antwortetest, habe ich meine Frage editiert und jetzt habe ichs wohl kapiert. (Deswegen habe ich die Frage nochmal auf "nicht beantwortet" gesetzt, weil sie jetzt anders ist.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo mikexx,
>
>
> > Ich bin ein bisschen verwirrt.
> >
> >
> > Also ich komme nur auf Folgendes.
> >
> >
> > Sei also [mm]f\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm] meßbar bezüglich F.
> >
> >
> > Das bedeutet doch:
> >
> > [mm]f^{-1}(B)\in F~\forall~B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm].
> >
> >
> > Es ist klar, dass dann [mm]f^{-1}(B)=\Omega[/mm].
>
> Ja!
nein - es ist klar, dass entweder [mm] $f^{-1}(B)=\Omega$ [/mm] oder [mm] $f^{-1}(B)=\emptyset$ [/mm] gilt. Und nun denkt man drüber nach, dass [mm] $\{r\} \in \mathcal{B}$ [/mm] für jedes $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Wäre dann [mm] $f^{-1}(\{r\})=\emptyset$ [/mm] für jedes $r [mm] \in \IR\,,$ [/mm] dann kommt man zu einem Widerspruch - ich gehe mal davon aus, dass [mm] $\Omega \not=\emptyset$ [/mm] sein soll. (Oder folgt das aus irgendwelchen Voraussetzungen?)
Also gibt es mindestens ein [mm] $r_0 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}(\{r_0\})=\Omega\,.$ [/mm] Und dann ist man auch schon fertig, weil dies das einzige ist - denn andernfalls bekommt man Probleme mit der Aussage, dass [mm] $f\,$ [/mm] eine Funktion sei ^^
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, ich glaube, ich verstehe.
>
>
> Sei also [mm]f\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm] eine F-messbare
> Funktion.
>
>
> Angenommen, dass f zwei Funktionswerte, nämlich [mm]c_1[/mm] und
> [mm]c_2[/mm] annimmt, und dass
> [mm]f^{-1}(c_1)=\left\{\omega|f(w)=c_1\right\}=:Z[/mm] und
> [mm]f^{-1}(c_2)=\left\{\omega|f(\omega)=c_2\right\}=Z^C[/mm]
das kannst Du so nur schreiben, wenn Du annimmst, dass [mm] $f\,$ [/mm] GENAU ZWEI VONEINANDER VERSCHIEDENE Funktionswerte annimmt.
Unter der Annahme, dass [mm] $f\,$ [/mm] mindestens zwei Werte [mm] $c_1 \not=c_2$ [/mm] annimmt, gilt nur [mm] $f^{-1}(\{c_1\}) \subseteq \big(f^{-1}(\{c_2\})\big)^C$ [/mm] bzw. zudem [mm] $f^{-1}(\{c_2\}) \subseteq \big(f^{-1}(\{c_1\})\big)^C\,.$
[/mm]
Wenn's unklar ist, nimm' halt ein (wenn's spezifisch werden soll, etwa einfaches, also etwa bijektives) [mm] $g\,$ [/mm] her, welches genau drei paarweise verschiedene Werte [mm] $a,\,b,\,c$ [/mm] annimmt und schreib' Dir einfach mal alle [mm] $g^{-1}(M)$ [/mm] für $M [mm] \in \text{Pot}(\{a,\,b,\,c\})$ [/mm] hin.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 13.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Etwas einfacher als bei blascowitz:
Sei $ [mm] f\colon\Omega\to\mathbb{R} [/mm] $ messbar. Wähle [mm] w_0 \in \Omega [/mm] und setze [mm] a:=f(w_0).
[/mm]
Dann gilt [mm] f^{-1}(\{a\}) \in [/mm] F.
Was folgt ?
FRED
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