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| Aufgabe | Gegeben:
Maßraum [mm] (\Omega,\mathcal{A},\mu)
[/mm]
[mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] Folge nichtnegativer [mm] \mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}} [/mm] - messbarer numerischer Funktionen
Zu zeigen:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} f_n [/mm] ist messbar
(b) [mm] \integral ({\summe_{n=1}^{\infty} f_n) d\mu} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \integral f_n d\mu [/mm] |
Hi,
ich habe zu meiner Stochastikvorlesung und zu den Aufgaben einige Fragen. Meine bisherigen Überlegungen:
(a) Ich weiß, dass die Summe zweier [mm] \mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}} [/mm] - messbarer Funktionen wieder [mm] \mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}} [/mm] - messbar ist. Wie zeige ich das aber nun bei der Reihe?
(b) Da muss ich wohl den ![[]](/images/popup.gif) Satz von der monotonen Konvergenz anwenden, der setzt aber eine Folge monoton wachsender [mm] f_n [/mm] voraus, wie mache ich das?
Zur Info:
[mm] \overline{B}: [/mm] Borel-Sigma-Algebra über [mm] \overline{\IR}
[/mm]
Numerische Funktion: Abbildung f: [mm] \Omega \to \overline{\IR}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
Liebe Grüße
Kirsten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben:
> Maßraum [mm](\Omega,\mathcal{A},\mu)[/mm]
> [mm](f_n)_{n\in \IN}[/mm] Folge nichtnegativer
> [mm]\mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}}[/mm] - messbarer numerischer
> Funktionen
>
> Zu zeigen:
> (a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} f_n[/mm] ist messbar
> (b) [mm]\integral ({\summe_{n=1}^{\infty} f_n) d\mu}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \integral f_n d\mu[/mm]
> Hi,
>
> ich habe zu meiner Stochastikvorlesung und zu den Aufgaben
> einige Fragen. Meine bisherigen Überlegungen:
>
> (a) Ich weiß, dass die Summe zweier
> [mm]\mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}}[/mm] - messbarer Funktionen
> wieder [mm]\mathcal{A}-\mathcal{\overline{B}}[/mm] - messbar ist.
> Wie zeige ich das aber nun bei der Reihe?
> (b) Da muss ich wohl den
> Satz von der monotonen Konvergenz
> anwenden, der setzt aber eine Folge monoton wachsender [mm]f_n[/mm]
> voraus, wie mache ich das?
naja, man braucht zwar auch das Ergebnis von (a), aber nur, damit man sieht, dass bei der letzten Gleichheit linkerhand überhaupt "was vernünftiges" unter dem Integral steht.
Der Satz ist eigentlich sehr einfach anzuwenden:
Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind nichtnegativ, also ist auch
[mm] $$g_N:=\sum_{n=1}^N f_n$$
[/mm]
für jedes $N [mm] \in \IN_{\ge 1}$ [/mm] nichtnegativ - und als endliche Summe messbarer Funktionen ist auch jedes [mm] $g_N$ [/mm] entsprechend messbar. Für die Anwendung des von Dir zitierten Satzes entscheidend:
Wegen der Nichtnegativität der [mm] $f_n$ [/mm] ist [mm] $(g_n)_n$ [/mm] offenbar auch eine monoton wachsende Folge (nichtnegativer Funktionen [mm] $g_n$).
[/mm]
Übrigens generell:
Ähnlich wie bei Reihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k\,,$ [/mm] wo das Symbol ja (erstmal nur) für die (von der Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] abhängige) Teilsummenfolge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$$
[/mm]
steht, solltest Du Dir auch oben klarmachen, was das Symbol
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty f_n$$
[/mm]
eigentlich bedeutet. Dann siehst Du auch, wieso meine Definition der [mm] $g_N$ [/mm] auch naheliegend war.
Gruß,
Marcel
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Hi,
danke für deine Hinweise zu b).
Nun zu a):
[mm] $$g_N:=\sum_{n=1}^N f_n$$ [/mm] ist offensichtlich messbar, da alle [mm] f_n [/mm] messbar sind.
Doch wie zeige ich das nun für N gegen [mm] \infty?
[/mm]
Ich weiß, dass limes superior und der limes inferior für N gegen [mm] \infty [/mm] von [mm] g_N [/mm] messbar sind.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> danke für deine Hinweise zu b).
>
> Nun zu a):
>
> [mm]g_N:=\sum_{n=1}^N f_n[/mm] ist offensichtlich messbar, da alle
> [mm]f_n[/mm] messbar sind.
> Doch wie zeige ich das nun für N gegen [mm]\infty?[/mm]
> Ich weiß, dass limes superior und der limes inferior für
> N gegen [mm]\infty[/mm] von [mm]g_N[/mm] messbar sind.
Es gilt doch
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty}g_N=[/mm] [mm]\sum_{n=1}^{\infty} f_n[/mm]
!!!!
FRED
>
> Vielen Dank!
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Ja, das weiß ich auch.
Ich sehe aber noch nicht, wie ich von der Messbarkeit der endlichen Summe auf die Messbarkeit der Reihe komm!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das weiß ich auch.
> Ich sehe aber noch nicht, wie ich von der Messbarkeit der
> endlichen Summe auf die Messbarkeit der Reihe komm!
Wilst Du mich veralbern ???
Du schreibst doch selbst:
"Ich weiß, dass limes superior und der limes inferior für N gegen $ [mm] \infty [/mm] $ von $ [mm] g_N [/mm] $ messbar sind."
Es ex. doch lim [mm] g_N [/mm] !!! und = [mm] \sum f_n
[/mm]
FRED
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Okay, entschuldige bitte.
Das stand ich wohl auf dem Schlauch.
Danke!
Gruß
Kirsten
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