Messbare Menge konstruieren < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie eine Lebesgue-messbare Menge positiven Maßes A , die kein Intervall enthält. |
Hi...ich habe keine Ahnung wie ich diese Menge konstruieren soll...kann mir einer helfen ?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Konstruieren Sie eine Lebesgue-messbare Menge positiven
> Maßes A , die kein Intervall enthält.
Gemeint ist sicher, dass die Menge kein Intervall enthalten darf, was aus mehr als einem Punkt besteht (ansonsten geht's nicht) 
Dazu: jedes Intervall, welches aus mehr als einem Punkt besteht, enthaelt ein Element aus [mm] $\IQ$.
[/mm]
Und [mm] $\IQ$ [/mm] hat Lebesgue-Mass $0$.
Vielleicht bekommst du damit eine Idee...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
hi...
hoert sich ja ein wenig so an als wenn man die Elemte entfernen musst (siehe Cantormenge?!)...aber diese menge ist ja nicht die gesuchte...Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi.
> hoert sich ja ein wenig so an als wenn man die Elemte
> entfernen musst
Genau. Wenn $A$ irgendeine messbare Menge ist, dann ist $A [mm] \setminuq \IQ$ [/mm] ebenfalls messbar und enthaelt kein Intervall mehr.
Kannst du etwas ueber das Mass von $A$ im Vergleich zu dem von $A [mm] \setminus \IQ$ [/mm] aussagen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
Das Maß ist mit der Montonie-Eigenschaft versehen und damit wohl größer als das Maß von [mm] \IQ....
[/mm]
und das ist dann meine gesuchte Lebesgue-messbare Menge?!..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
> Das Maß ist mit der Montonie-Eigenschaft versehen und damit
> wohl größer als das Maß von [mm]\IQ....[/mm]
Wegen der Monotonie-Eigenschaft und der Subadditivitaet gilt [mm] $\mu(A) \ge \mu(A \setminus [/mm] B) [mm] \ge \mu(A) [/mm] - [mm] \mu(B)$.
[/mm]
> und das ist dann meine gesuchte Lebesgue-messbare
> Menge?!..
Haengt vom Mass von $A$ ab. ob das $> 0$ ist
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
hi
also muss ich jetzt quasi noch eine menge A finden deren Maß größer als 0 ist..oder soll ich das ganz allgemein halten...
Also es gibt eine menge A dann betrachte ich A ohne [mm] \IQ [/mm] ,diese menge ist wieder messbar und es folgt das Maß der Menge ist gleich dem Maß von A?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi!
> also muss ich jetzt quasi noch eine menge A finden deren
> Maß größer als 0 ist..oder soll ich das ganz allgemein
> halten...
Das ist egal. Eine konkrete reicht ja. Da gibts viele einfache Moeglichkeiten... :)
> Also es gibt eine menge A dann betrachte ich A ohne [mm]\IQ[/mm]
> ,diese menge ist wieder messbar und es folgt das Maß der
> Menge ist gleich dem Maß von A?
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
also zb das intervall [0,1] auf [mm] \IR [/mm] hat ein Maß,das größer als 0 ist. Aber dann waeren wir doch schon direkt bei der Cantormenge,die hat jedoch wieder das Maß 0...:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also zb das intervall [0,1] auf [mm]\IR[/mm] hat ein Maß,das größer
> als 0 ist.
Genau. Womit $[0, 1] [mm] \setminus \IQ$ [/mm] ebenfalls Mass 1 hat und kein echtes Intervall enthaelt.
> Aber dann waeren wir doch schon direkt bei der
> Cantormenge,die hat jedoch wieder das Maß 0...:(
Nein, die Cantormenge ist etwas ganz anders... Nur weil sie auch eine Teilmenge von $[0, 1]$ ist, ist sie noch lange nicht gleich $[0, 1] [mm] \setminus \IQ$...
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 20.05.2007 | | Autor: | cutter |
Ich bedanke mich
Schoenen Sonntag erstmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hey cutter,
> Ich bedanke mich
bitte :)
> Schoenen Sonntag erstmal :)
Dir auch!
LG Felix
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