Messauswertung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe folgende Fragen bzgl. der statistischen Auswertung der allerersten Messung.
Ist es korrekt, die Standardabweichung der allerersten Messung eines Objekts nach dem folgenden Ansatz zu bestimmen, dessen 2. Term die Unsicherheit (Standardabweichung) des Mittelwerts berücksichtigen soll:
[mm] s_{Total} [/mm] = [mm] \wurzel{s_{Messung}^{2} + \bruch{s_{Messung}^{2}}{\wurzel{N}}}
[/mm]
wobei N = Anzahl der Messungen (bei der allerersten Messung also N = 1)
Ab welcher Anzahl von Messungen ist der folgende klassische Ansatz überhaupt sinnvoll und empfehlenswert?
[mm] s_{Total} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{(N-1)}* \summe_{i=1}^{n}( x_{i}-\overline{x})^{2}}
[/mm]
Hintergrund ist eine Serie von Leistungsmessungen an Maschinen, die sich ähnlich aber nicht identisch sind.
Würde es bei dem ersten Ansatz genügen, nur eine Maschine zu messen, diese allerdings einige Male um die Unsicherheit
(Standardabweichung) des Mittelwerts zu reduzieren?
Macht es überhaupt Sinn einen Mittelwert und eine Standardabweichung für nur eine einzige Messung anzugeben?
Vielen Dank im Voraus für die freundliche Beantwortung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Nimue |
> Hallo,
>
> ich habe folgende Fragen bzgl. der statistischen Auswertung
> der allerersten Messung.
> Ist es korrekt, die Standardabweichung der allerersten
> Messung eines Objekts nach dem folgenden Ansatz zu
> bestimmen, dessen 2. Term die Unsicherheit
> (Standardabweichung) des Mittelwerts berücksichtigen
> soll:
> [mm]s_{Total}[/mm] = [mm]\wurzel{s_{Messung}^{2} + \bruch{s_{Messung}^{2}}{\wurzel{N}}}
[/mm]
> wobei N = Anzahl der Messungen (bei der allerersten Messung
> also N = 1)
Ich hab diese Formel biher noch nicht gesehen (heißt aber nichts). Aber wenn du dein N = 1 einsetzten würdest, bekommst da als Ergebnis Standardabweichung*Wurzel 2, was mir nicht sehr sinnvoll erscheint. Und hast du eine Meßgenauigkeit (d.h. sMEssung? )
> Ab welcher Anzahl von Messungen ist der folgende klassische
> Ansatz überhaupt sinnvoll und empfehlenswert?
> [mm]s_{Total}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{(N-1)}* \summe_{i=1}^{n}( x_{i}-\overline{x})^{2}}
[/mm]
Also mindestens zwei Werte brauchst du schon. Je mehr desto besser. Eine weitere Angabe, die die Streuung beschreibt ist die Spannweite (gröte Messung minus kleinste Messung)
> Hintergrund ist eine Serie von Leistungsmessungen an
> Maschinen, die sich ähnlich aber nicht identisch sind.
> Würde es bei dem ersten Ansatz genügen, nur eine Maschine
> zu messen, diese allerdings einige Male um die Unsicherheit
> (Standardabweichung) des Mittelwerts zu reduzieren?
Die große Frage ist, was für eine Aussage du mit deinen Untersuchungen treffen willst. Wenn ich das richtig verstanden habe hast du M Maschinen zur Verfügung, die du n mal testen kannst. Wenn du z.B zwei Maschinen miteinander vergleichen willst, muß du für jede Maschine mehrere Tests machen, und diese Werte mit einem statistischen Test vergleichen. Wenn du einfach nur eine Aussage über den Mittelwert aller Maschinen machen willst, mußt du versuchen so viele wie möglich zu testen.
> Macht es überhaupt Sinn einen Mittelwert und eine
> Standardabweichung für nur eine einzige Messung
> anzugeben?
Nein, da der Mittelwert einer Messung gleich dem Meßwert ist ([mm] \bruch{1}{N} * \summe_{i=1}^{N}x_{i}
[/mm]
und du die Standardabweichung eines Wertes nicht empirisch bestimmen kannst (in der Formel für den Schätzwert würdest du durch 0 teilen). Die einzige Möglichkeit ist dann einen Erfahrungswert zu nehmen.
Vielleicht kannst du dein Problem genauer stellen, dann kann ich möglicherweise noch mehr zu sagen.
Gruß
Nimue
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die prompte Beantwortung der Fragen.
Hier eine weitere Konkretisierung des Problems:
Problembeschreibung
An spezifischen Maschinen sollen die Wirkungsgrade bestimmt werden. Es werden verschiedene Typen erstellt, einige Typen werden gemessen, einige neue Typen (ähnlich zu den bekannten) müssen mit sehr wenigen Messungen bestimmt werden.
Typ A
Anzahl [mm] N_{A} [/mm] Maschinen sind getestet und Mittelwert und Standardabweichung sind berechnet worden.
Typ B
Anzahl [mm] N_{B} [/mm] Maschinen sind getestet und Mittelwert und Standardabweichung sind berechnet worden.
[mm] s_{A}= \wurzel{ \bruch{1}{N_{A}-1} \summe_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^2} [/mm] (1)
[mm] s_{B}= \wurzel{ \bruch{1}{N_{B}-1} \summe_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline{x})^2} [/mm] (2)
Typ C
Typ C ist neu und es gibt nur einen Test von diesem Typus, d.h [mm] N_{C} [/mm] = 1. Für diesen Wert ist [mm] N_{C} [/mm] 1 = 0 und [mm] s_{C} [/mm] ist nicht definiert. Demzufolge kann keine statistische Aussage für diesen Fall gemacht werden (ist diese Aussage korrekt?).
Mit steigender Anzahl von Messungen (größere [mm] N_{C}) [/mm] lässt sich die Standardabweichung [mm] s_{C} [/mm] bestimmen. Es stellt sich die Frage ab welcher Anzahl [mm] N_{C} [/mm] die Standardabweichung statistisch abgesichert ist? Ist eine Empfehlung möglich?
Weiter gilt für die Population A und gleichermassen B und C der Vertrauensbereich (Student-distribution)
[mm] V_{A}=t*s_{A} [/mm] (t=1 für 68% confidence interval) (3)
und für den Mittelwert
[mm] V_{A}=\bruch{t*s_{A}}{\wurzel{N_{A}}} [/mm] (t=1 für 68% confidence interval) (4)
Erstens es ist aus (4) klar, dass der Vertrauensbereich des Mittelswertes gegen Null geht für grosse [mm] N_{A}, [/mm] zweitens, dass der Wert gar nicht für [mm] N_{A}=1 [/mm] bestimmt werden kann (siehe oben). Ist diese Aussage korrekt?
Gleichzeitig existiert der Wunsch eine Aussage der Standardabweichung für den Fall C zu machen wobei nur eine Messung gemacht wurde um dadurch der grösseren Unsicherheit Rechnung zu tragen.
Annahme
Aus der Erfahrung (engineering experience) ist bekannt, dass Fall C in etwa die gleiche Standardabweichung wie Fall A und B haben wird. Kann die totale Standardabweichung des Falles C mit dem folgenden, empirischen Ansatz bestimmt werden, der mit dem Term [mm] \bruch{s_{A}^2}{\wurzel{N_{A}^2}} [/mm] die Unsicherheit des Mittelwerts berücksichtigen soll:
[mm] s_{Total}=\wurzel{s_{A}^2+\bruch{s_{A}^2}{\wurzel{N_{A}^2}}} [/mm] (5)
Wenn ja, ab welchem N sollen Gleichung (1) und (2) verwendet werden?
Als Beispiel für (5) würde gelten:
[mm] S_{A} [/mm] = 1.3% [mm] \to s_{Total}= [/mm] 1.84% (N = 1)
[mm] S_{A} [/mm] = 1.3% [mm] \to s_{Total}= [/mm] 1.59% (N = 2)
[mm] S_{A} [/mm] = 1.3% [mm] \to s_{Total}= [/mm] 1.50% (N = 3)
[mm] S_{A} [/mm] = 1.3% [mm] \to s_{Total}= [/mm] 1.45% (N = 4)
[mm] S_{A} [/mm] = 1.3% [mm] \to s_{Total}= [/mm] 1.42% (N = 5)
Ist dieses Vorgehen zulässig?
Vielen Dank für die Hilfe und freundliche Beantwortung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüsse
Andreas
|
|
|
|
