Mengentheoretischer Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Beh. : A \ B = A\ (A [mm] \cap [/mm] B) |
Hallo,
kurze Frage... wenn ich das zeigen will (angenommen, ich starte mal mit der linken Seite), kann ich dann, wenn wir die entsprechenenden Eigenschaften bewiesen haben, schreiben:
A \ B = A [mm] \cap B^{c} [/mm] = [mm] \emptyset \cup [/mm] A [mm] \cap B^{c} [/mm] = .... usw.
Oder muss ich jedes Mal davor [mm] x\in [/mm] A \ B => [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap B^{c} [/mm] = .... usw.
schreiben?
Bzw. ist eins richtig und eins falsch, oder geht beides?
Vielleicht kann mir kurz jemand erklären, wann ich das so und wann so mache.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beh. : A \ B = A\ (A [mm]\cap[/mm] B)
> Hallo,
>
> kurze Frage... wenn ich das zeigen will (angenommen, ich
> starte mal mit der linken Seite), kann ich dann,
> wenn wir die entsprechenenden Eigenschaften bewiesen haben,
Was meinst Du damit ?
> schreiben:
>
> A \ B = A [mm]\cap B^{c}[/mm] = [mm]\emptyset \cup[/mm] A [mm]\cap B^{c}[/mm] = ....
> usw.
Wenn es richtig weitergeht ist das O.K.
>
> Oder muss ich jedes Mal davor [mm]x\in[/mm] A \ B => [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap B^{c}[/mm]
> = .... usw.
> schreiben?
Müssen mußt Du nichts
> Bzw. ist eins richtig und eins falsch, oder geht beides?
Es geht beides.
> Vielleicht kann mir kurz jemand erklären, wann ich das so
> und wann so mache.
Dafür gibts kein Kochrezept. Wie Du es machst hängt von der Situation ab. Und es ist Geschmacksache
FRED
>
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
Danke dir....
d.h. aber, wenn ich sage, dass Mengen gleich sind bzw. deren Verknüpfungen wie bei A \ B = A \ (A [mm] \cap [/mm] B) = ...
schreibe ich nie x [mm] \in [/mm] davor, oder?
Wenn ich Folgerungen machen MUSS das aber da stehen !?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
Darf ich das dann so machen?
Sei x [mm] \in [/mm] A \ B => [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap B^{c} [/mm] => [mm] x\in \emptyset \cup [/mm] (A [mm] \cap B^{c})
[/mm]
=> [mm] x\in [/mm] (A [mm] \cap A^{c}) \cup [/mm] (A [mm] \cap B^{c}) [/mm] => [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap (A^{c} \cup B^{c}) [/mm] => [mm] x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap B)^{c} [/mm] => [mm] x\in [/mm] A \ (A [mm] \cap B)^{c} [/mm] ????
LG
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> Darf ich das dann so machen?
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> Sei x [mm]\in[/mm] A \ B => [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap B^{c}[/mm] => [mm]x\in \emptyset \cup[/mm]
> (A [mm]\cap B^{c})[/mm] => [mm]x\in[/mm] (A [mm]\cap A^{c}) \cup[/mm] (A [mm]\cap B^{c})[/mm] => [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap (A^{c} \cup B^{c})[/mm] => [mm]x\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cap B)^{c}[/mm] => [mm]x\in[/mm] A \ (A [mm]\cap B)^{\red{c}}[/mm] ????
Alle deine Schlussfolgerungen sind richtig (bis auf den rot markierten Tippfehler).
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke dir....
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> d.h. aber, wenn ich sage, dass Mengen gleich sind bzw.
> deren Verknüpfungen wie bei A \ B = A \ (A [mm]\cap[/mm] B) = ...
> schreibe ich nie x [mm]\in[/mm] davor, oder?
>
> Wenn ich Folgerungen machen MUSS das aber da stehen !?
Ich mach Dir an obigem Beispiel mal beide Methoden vor.
1. $A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)= A [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap B)^c= [/mm] A [mm] \cap(A^c \cup B^c)= [/mm] (A [mm] \cap A^c) \cup [/mm] (A [mm] \cap B^c)= \emptyset \cup [/mm] (A [mm] \cap B^c)=A \cap B^c= [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$
2. x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B).
Wenn Du genau hinschaust, siehst Du, dass man jedes [mm] \Rightarrow [/mm] auch umkehren kann (das wird nicht immer so sein !). Also:
x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B).
FRED
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:56 Do 10.11.2011 | | Autor: | gnom347 |
Ich nehmen an deine Frage ist, wann du eine vorhandene Mengengleichheit annehmen darfst und wann du die Mengengleichheit explizit noch zeigen musst.
Normalerweise ist es so , das du eine Mengengleichheit dan annehmen darfst, wenn sie in der Vorlesung (Skript) gezeigt wurde oder du sie in einer Übung gezeigt hast.
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