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Folgendes Beispiel wollte ich für eine Prüfung noch einmal durchgehen, aber da ich das schon lange einmal gemacht habe, bin ich mir nicht mehr sicher wie ich zu den 4,1% gekommen bin.
Es gibt zwei Loterien: I und II
Die Wahrscheinlichkeit, dass man in Lotterie II gewinnt ist 15,5%
Wahrscheinlichkeit bei L. I und II zu gewinnen liegt bei 2,5%
Die Wahrscheinlichkeit in beiden zu verlieren = 80,4%
a) Wie groß ist die W. nur bei Lotterie II zu gewinnen?
b) Wie groß ist die W. bei II zu verlieren?
Also für mich ist klar, dass man die 2,5% in die Mitte der beiden Kreise schreibt und die 13% ergeben sich indem man 15,5 - 2,5 rechnet.
Ich wusste nicht mehr wie man zu den 4,1 im Kreis I kommt und dann habe ich so durchgerechnet --> 100-80,4-15,5 und bin auf die 4,1 gekommen. ABER was haben die 80,4% damit zu tun, die sind ja die Wahrscheinlichkeit zu verlieren und das andere ist alles mit gewinnen. Kann man das so mischen? Ich verstehe dieses Beispiel nicht.
UND stimmt diese Rechnung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folgendes Beispiel wollte ich für eine Prüfung noch
> einmal durchgehen, aber da ich das schon lange einmal
> gemacht habe, bin ich mir nicht mehr sicher wie ich zu den
> 4,1% gekommen bin.
>
> Es gibt zwei Loterien: I und II
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass man in Lotterie II gewinnt ist
> 15,5%
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> Wahrscheinlichkeit bei L. I und II zu gewinnen liegt bei
> 2,5%
>
> Die Wahrscheinlichkeit in beiden zu verlieren = 80,4%
>
> a) Wie groß ist die W. nur bei Lotterie II zu gewinnen?
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> b) Wie groß ist die W. bei II zu verlieren?
>
> Also für mich ist klar, dass man die 2,5% in die Mitte der
> beiden Kreise schreibt und die 13% ergeben sich indem man
> 15,5 - 2,5 rechnet.
>
> Ich wusste nicht mehr wie man zu den 4,1 im Kreis I kommt
na, insgesamt musst Du auf 100 Prozent kommen.
Also mal in Wahrscheinlichkeiten gerechnet:
[mm] $P(B)=15,5\%$
[/mm]
$P(A [mm] \cap B)=2,5\%$
[/mm]
Weil $B=(A [mm] \cap B)\cup (B\setminus [/mm] A)$ eine disjunkte Vereinigung ist, folgt
[mm] $P(B)=15,5\%=P(B \setminus [/mm] A)+P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(B [mm] \setminus A)+2,5\%.$
[/mm]
Daher bekommst Du $P(B [mm] \setminus A)=13\%.$
[/mm]
Jetzt aber zu der eigentlichen Frage:
Genauso überlegst Du Dir, dass wegen $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] A$ und wegen
[mm] $A\setminus [/mm] B=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt
(*) [mm] $P(A\setminus [/mm] B)=P(A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))=P(A)-P(A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Nun ist aber
(**) [mm] $100\%=P(B)+P(B^C)=P(B)+P(A \setminus [/mm] B)+P((A [mm] \cup B)^C)=15,5\%+P(A \setminus B)+80,4\%.$
[/mm]
Mit (*) und (**) bekommst Du dann $P(A [mm] \setminus B)=4,1\%$ [/mm] und damit [mm] $P(A)=6,6\%.$
[/mm]
Also zusammenfassend:
A: Gewinn Lotterie I
[mm] $P(A)=6,6\%$
[/mm]
B: Gewinn Lotterie II
[mm] $P(B)=15,5\%$
[/mm]
$A [mm] \cap [/mm] B:$ Gewinn sowohl Lotterie I als auch Lotterie II
$P(A [mm] \cap B)=2,5\%$
[/mm]
[mm] $A\setminus [/mm] B:$ Gewinn Lotterie I, ohne Gewinn Lotterie II
$P(A [mm] \setminus B)=4,1\%$
[/mm]
[mm] $B\setminus [/mm] A:$ Gewinn Lotterie II, ohne Gewinn Lotterie I
$P(B [mm] \setminus A)=13\%$
[/mm]
$(A [mm] \cup B)^C:$ [/mm] Weder Gewinn Lotterie I noch Lotterie II
$P((A [mm] \cup B)^C)=80,4\%$
[/mm]
Test:
Alles zusammen muss 100% ergeben:
Man kann nur genau einen der folgenden Fälle haben
- Gewinn in Lotterie I, ohne Lotterie II: [mm] $4,1\%$
[/mm]
- Gewinn in Lotterie II, ohne Lotterie I: [mm] $\;\;\,\,13,0\%$
[/mm]
- Gewinn in Lotterie I und Lotterie II: [mm] $2,5\%$
[/mm]
- Gewinn weder in Lotterie I noch Lotterie II: [mm] $80,4\%$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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