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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen [tex]A[/tex] und [tex]B[/tex] der definierten Grundmenge [tex]X[/tex] die Gleichung [tex](A^c)^c = A[/tex] gilt. |
6. [tex]x \in X\backslash (X\backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \Rightarrow x \in A[/tex].
[tex]\Leftarrow[/tex]: ich weiß auch, dass [tex]A \subseteq X[/tex] also [tex]x \in A \Rightarrow x \in X[/tex]
Was passiert wenn ich direkt anwenden will, dass [tex]A \subseteq X[/tex]?
[tex]x \in X\backslash (X \backslash A) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X)[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|rc|c}
\hline
X & A & \\ \hline
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{tabular}[/tex]
Die zweite Zeile ist anders als [tex]A[/tex]. Kann ich von Anfang an annehmen, dass [tex]x \in X = 1[/tex], da wir nur Elemente einer Grundmenge betrachten also kann ich die ersten beiden Zeilen weglassen?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ne1,
> Hallo :),
Diese tex-tags zerschießen beim Zitieren den ganzen Artikel.
Nimm lieber die Dollarzeichen oder die mm-tags ...
>
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> Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen [tex]A[/tex] und [tex]B[/tex] der
> definierten Grundmenge [tex]X[/tex] die Gleichung [tex](A^c)^c = A[/tex] gilt.
Was hat B mit der Aussage zu tun?
>
>
>
>
> 6. [tex]x \in X\backslash (X\backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \Rightarrow x \in A[/tex].
[mm] x\in X\wedge x\in [/mm] A[mm] hast du schnell geschlossen ...
>
> [tex]\Leftarrow[/tex]: ich weiß auch, dass [tex]A \subseteq X[/tex] also [tex]x \in A \Rightarrow x \in X[/tex]
Wieso?
Wenn du die Zwischenschritte in der Richtung [/mm][mm] \subseteq [/mm] mal aufschreibst, sind das Äquivalenzen und du bist fertig.
>
> Was passiert wenn ich direkt anwenden will, dass [tex]A \subseteq X[/tex]?
>
> [tex]x \in X\backslash (X \backslash A) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X)[/tex]
>
> [tex]\begin{tabular}{|rc|c}
> \hline
> X & A & \\ \hline
> 0 & 0 & 0 \\
> 0 & 1 & 0 \\
> 1 & 0 & 0 \\
> 1 & 1 & 1 \\ \hline
> \end{tabular}[/tex]
Das ist ja eine WWT, da sollten in der Kopfzeile Aussagen stehen, also [mm]x\in X[/mm] bzw. [mm]x\in A[/mm]
Wofür steht deine 3. Spalte?
Da sollte doch [mm]x\in (A^c)^c[/mm] im Kopf stehen ...
>
> Die zweite Zeile ist anders als [tex]A[/tex]. Kann ich von Anfang an
> annehmen, dass [tex]x \in X = 1[/tex], da wir nur Elemente einer
> Grundmenge betrachten also kann ich die ersten beiden
> Zeilen weglassen?
Für [mm]x\notin X[/mm] ist die Aussage sinnlos. Du nimmst schon ein Element [mm]x[/mm] aus der Grundmenge her ...
Die Tabelle ist sehr sehr kraus. Halte dich besser an den ersten Beweis, formuliere den mal schön aus.
Fange an mit [mm]x\in (A^c)^c[/mm] und forme mit Äquivalenzen um zu [mm]x\in A[/mm] ...
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> Danke im Voraus.
>
> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 02.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Nur noch zur Kontrolle:
$x [mm] \in (A^c)^c \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
Mich hat z.b. sowas wie $x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ verwirrt, da man normalerweise kein [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] setzten darf, ich weiß, aber das es sich um eine Grundmenge handelt und deshalb darf ich es tun und jetzt hat sich eigentlich schon alles erledigt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nur noch zur Kontrolle:
>
> [mm]x \in (A^c)^c \Leftrightarrow x \in X \backslash (X \backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in X \backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in X \wedge x \notin A) \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \notin X \vee x \in A)\Leftrightarrow[/mm]
hier kann man jetzt noch einfügen
$$(x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] X) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A)$$
(muss man aber nicht unbedingt!)
> [mm] \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in A[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :),
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> Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen $A$ und $B$ der
> definierten Grundmenge $X$ die Gleichung [mm] $(A^c)^c [/mm] = A$ gilt.
sowas sind Standardbeweise: Zwei Mengen [mm] $R,\;S\,$ [/mm] sind genau dann
gleich, wenn sowohl $R [mm] \subseteq [/mm] S$ als auch $S [mm] \subseteq [/mm] R$ gilt.
Zur Erinnerung: Ist $B [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] so gilt [mm] $B^c:=\{x \in X:\;\;x \notin B\}\,.$
[/mm]
Zeige also
1. [mm] $(A^c)^c \subseteq [/mm] A$
als auch
2. $A [mm] \subseteq (A^c)^c\,.$
[/mm]
Mit der Erinnerung:
I. [mm] $A^c=\{x \in X:\;\;x \notin A\}$ [/mm]
und
[mm] II.$(A^c)^c=\{x \in X:\;\;x \notin A^c\}\,.$
[/mm]
Zu 1.: Für jedes $x [mm] \in (A^c)^c$ [/mm] ist $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \notin A^c\,.$ [/mm] Also gilt für jedes solche [mm] $x\,$ [/mm] auch
$x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\neg(x \in A^c)$. [/mm] Also gilt $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] ($\neg(x \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin A)\,$). [/mm] Das heißt $x [mm] \in [/mm] X$ und
[mm] ($\neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X)$ oder [mm] $\neg [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A)$).
Also $x [mm] \in [/mm] X$ und ($x [mm] \notin [/mm] X$ oder $x [mm] \in [/mm] A$).
Mit den de Morganschen Regeln der Logik also
$$(x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin [/mm] X) [mm] \text{ oder }(x \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \in A)\,.$$
[/mm]
Letzteres geht nur für $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \in A\,,$ [/mm] also folgt $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
Zu 2.: Zu zeigen: Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in (A^c)^c\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in [/mm] X$ und
[mm] $\neg(x \notin A)\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \notin A^c\,.$ [/mm] Daraus folgt $x [mm] \in (A^c)^c\,.$
[/mm]
(P.S.: 2. ist jetzt auch ein wenig "kurz" gehalten. Man kann es wie 1. auch
etwas ausführlicher aufschreiben!)
Gruß,
Marcel
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